Ряд фурье... Коэффициенты..

[oleg-spbu]

Функция задана графически (ссылка на рисунок удалена)
Периодическая функция с периодом 4 на отрезке $\color{red}0\le x \le 4$ задана следующим образом:

$$\color{blue}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x, & 0\le x \le 1;\\ 1 & 1\le x \le 3\\ 4-x, & 3\le x \le 4. \end{array}\right.$$

$$f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
x,   & 0\le x \le 1;\\
1    & 1\le x \le 3\\
4-x, & 3\le x \le 4.
\end{array}\right.$$

AKM:

Замена формул картинками не допукается!

Правильно ли я записал формулы, по которым нужно считать коэффицинты в данном случае

$$a_0=2\int_0^1{x}dx+\int_1^3dx+2\int_3^4(4-x)dx$$

$$a_n=2\int_0^1{xcos\frac{{\pi}nx}2}dx+\int_1^3cos{{\pi}nx}dx+2\int_3^4(4-x)cos\frac{{\pi}nx}{2}dx$$

$$b_n=2\int_0^1{xsin\frac{{\pi}nx}2}dx+\int_1^3sin{{\pi}nx}dx+2\int_3^4(4-x)sin\frac{{\pi}nx}{2}dx$$

[ShMaxG]

Не, не правильно - в аргументе косинуса во втором слагаемом тоже делить на 2 будет. Да и коэффициент 2 забыли при нем. Более того, $ b_n = 0 $ для любых $n$.

[oleg-spbu]

Извиняюсь за картинку

-- Пн июн 22, 2009 12:17:02 --

ShMaxG в сообщении #223914 писал(а):

Не, не правильно - в аргументе косинуса во втором слагаемом тоже делить на 2 будет. Да и коэффициент 2 забыли при нем. Более того, $ b_n = 0 $ для любых $n$.

от 1 до 3 будет 2 единицы. 2l=2 => l=1 В чем ошибка? Возможно, неправильный подход!!!!!

[ShMaxG]

oleg-spbu в сообщении #223915 писал(а):

Возможно, неправильный подход!!!!!

Так и есть Аргумент у косинуса один и тот же.

Вот формула в нашем случае:

$$ a_n = \frac{1} {4}\int\limits_{ - 4}^4 {f\left( x \right)\cos \frac{{2\pi nx}} {4}dx} $$

Сначала записываете ее, и только потом подставляете свою функцию.

[oleg-spbu]

Тогда так

$$a_0=(1/2)\int_0^1{x}dx+(1/2)\int_1^3dx+(1/2)\int_3^4(4-x)dx$$

$$a_n=(1/2)\int_0^1{xcos\frac{{\pi}nx}2}dx+(1/2)\int_1^3cos{{\pi}nx/2}dx+2\int_3^4(4-x)cos\frac{{\pi}nx}{2}dx$$

$$b_n=(1/2)\int_0^1{xsin\frac{{\pi}nx}2}dx+(1/2)\int_1^3sin{{\pi}nx/2}dx+(1/2)\int_3^4(4-x)sin\frac{{\pi}nx}{2}dx$$

[/quote]

[ShMaxG]

В последнем слагаемом у $a_n$ коэффициент перед интегралом $1/2$. Причем помните, что если писать формулу для $a_n$ так как я, то когда пишете, собственно, ряд - первое слагаемое будет $ \frac{{a_0 }} {2} $, а не $ {a_0 } $

[oleg-spbu]

А если бы f(x) была нечетная, какая была бы в этом случае формула для $b_n$

[ShMaxG]

Ну запишите общую формулу для $b_n$. Если функция $f(x)$ нечетная, то при умножении на синус получится четная функция. Тогда можно рассматривать интервал только от $ \left[ {0;l} \right] $

[oleg-spbu]

Можно ли так записать будет?

$$ b_n = \frac{1} {4}\int\limits_{ - 4}^4 {f\left( x \right)\sin \frac{{2\pi nx}} {4}dx} $$

[ShMaxG]

Ну да, так и нужно. Ну а уж как вычислять этот интеграл - дело техники...

[oleg-spbu]

oleg-spbu в сообщении #224048 писал(а):

Можно ли так записать будет?

$$ b_n = \frac{1} {4}\int\limits_{ - 4}^4 {f\left( x \right)\sin \frac{{2\pi nx}} {4}dx} $$

Мммм
Вот общая формула

$$b_n= \frac{1} {l}\int\limits_{ - l}^l {f\left( x \right)\sin {\frac{\pi nx}{l}}$$

если сравнить формулы, то $l=4$, но откуда-то вылезает двойка в числителе аргумента синуса... почему она там получается, скажите, пожалуйста!

[Hymilev]

так l- полупериод, а период равен 4

[oleg-spbu]

Hymilev в сообщении #224097 писал(а):

так l- полупериод, а период равен 4

Если период равен 4, то полупериод равен 2; $l=2$
Подставляя $l$ в общую формулу, получаем.
=>

$$b_n= \frac{1} {2}\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)\sin {\frac{\pi nx}{2}}$$

Перед интегралом коэффициент 1/2, а не 1/4....

[ewert]

Коэффициент перед интегралом в любом варианте формулы равен двойке, делённой на длину промежутка интегрирования.

[oleg-spbu]

ewert в сообщении #224133 писал(а):

Коэффициент перед интегралом в любом варианте формулы равен двойке, делённой на длину промежутка интегрирования.

Это, если промежуток от $0$ до $l$. А почему аргумент синуса удваивается, по сравнению с общей формулой?