Ряд фурье... Коэффициенты..

[ShMaxG]

oleg-spbu
Да нет, же. Это если промежуток $ \left[ { - l;l} \right] $. У Вас в задаче $ l = 4$.

-- Вт июн 23, 2009 22:19:38 --

Я там еще ошибся в формуле, прошу прощения В аргументе косинуса в числителе без двойки надо, конечно.

[ewert]

oleg-spbu в сообщении #224353 писал(а):

Это, если промежуток от $0$ до $l$.

Нет, в любом случае. Это обусловлено тем, что среднее значение квадратов синусов/косинусов (в интересующих нас случаях) равно одной второй. Что геометрически достаточно очевидно.

oleg-spbu в сообщении #224353 писал(а):

А почему аргумент синуса удваивается, по сравнению с общей формулой?

Не удваивается, а уполовинивается. Говоря вульгарно: потому, что в разложении только по синусам (к примеру) тех синусов, которые были в стандартном разложении по синусам и косинусам, не хватит для образования полной ортогональной системы -- ведь косинусы-то выкинуты. Вот и приходится добавлять дополнительные синусы.

Это вульгарно, конечно. Почему именно эта схема работает, и почему конкретно эта -- вопрос другой, технический.

[oleg-spbu]

ShMaxG, спасибо, что сказали, у меня именно в этом вопрос и заключался, хотя.. возможно я некорректон выразился...
ewert, спасибо, но я не понял, что именно вы имели ввиду под вульгарностью...
Вы это имели ввиду...? Если $f(x)$- нечетная периодическая функция от $-l$ до $l$, тогда

$$b_n= \frac{1} {l}\int\limits_{ - l}^l {f\left( x \right)\sin {\frac{\pi nx}{l}dx}=\frac{2} {l}\int\limits_{0}^l {f\left( x \right)\sin {\frac{\pi nx}{l}dx}$$

Это мне технически понятно почему...я спрашивал про числитель аргумента синуса=)

[ewert]

Хм.
На промежутке $[-l;l]$ длины $2l$ любая функция раскладывается в ряд по

$\cos\left({2\pi n\over 2l}x\right)$ и $\sin\left({2\pi n\over 2l}x\right)$ (1).

Потому, что эти функции образуют полную ортогональную систему на этом промежутке.

Если же промежуток уменьшить до $[0;l]$, то аналогичной полной системой будет

$\cos\left({2\pi n\over l}x\right)$ и $\sin\left({2\pi n\over l}x\right)$ (2).

Т.е. осциллирующая вдвое чаще -- и, соотв., тех же синусов в (2) будет вдвое больше, чем в (1).

Но теперь, если нам захочется вдруг выкинуть из (2) косинусы -- система (на $[0;l]$) перестанет, естественно, быть полной. И это так или иначе придётся чем-то компенсировать. Так вот, пропущенные в (2) синусы из (1) как раз и восстанавливают полноту. Так и получается изначальный набор $\sin\left({2\pi n\over 2l}x\right)=\sin\left({\pi n\over l}x\right)$.