Сходимость рядов...

[ewert]

invisible1 в сообщении #223821 писал(а):

То есть, что $n^2$ растет быстрее n?

Нет, между прочим, не то есть. Тут важна именно квалифицированная сходимость. Т.е. то, что общий член оценивается степенью, именно меньшей единицы. То, что он меньше минус первой степени -- формально ещё ни о чём не говорит (ибо ряд от минус первых степеней расходится).

[apls]

invisible1 в сообщении #223827 писал(а):

До 12 члена сейчас на 3-5 страниц буду пример расписывать!!!!!!!!

http://wolframalpha.com/

[ewert]

apls в сообщении #223819 писал(а):

Подскажите, как исследовать на сходимость ряд:
$\sum (\ln\ln(n+1)^{1/3} - \ln\ln n^{1/3})$
Можно свести к такому:
$\sum (\ln\log_n (n+1))$
но что с ним делать дальше не знаю.

Вы напрасно свернули последнюю пару логарифмов. Там вроде как выйдет

$$\ln\frac13\,{\ln n+\ln\left(1+{1\over n}\right)\over \ln n}\sim \ln\frac13\left(1+{1\over n\,\ln n}\right)$$

(если я правильно понял ваши степени). С вытекающими отсюда последствиями.

[Gordmit]

ewert в сообщении #223817 писал(а):

Да, по гамбургерскому счёту -- правильно, не нужно. Только нужно это аккуратно оформить. Для каждого конкретного икса получается эквивалентность общих членов элементам последовательности $n^{-2},$ чего и достаточно.

-- Вс июн 21, 2009 22:51:56 --

Ну да, ровно так. Ну разве что надо ещё пару заклинаний насчёт знакоположительности (начиная с некоторого момента) добавить, если кто невзначай придерётся.

Ну а чтобы совсем никто никогда не придрался, нелишне будет еще дописать что-то в духе $x\neq -1,-2,-3,...$

[ewert]

ну да, мне это тоже в голову пришло, только лень было возиться мыслями об древо

[apls]

ewert в сообщении #223834 писал(а):

apls в сообщении #223819 писал(а):

Подскажите, как исследовать на сходимость ряд:
$\sum (\ln\ln(n+1)^{1/3} - \ln\ln n^{1/3})$
Можно свести к такому:
$\sum (\ln\log_n (n+1))$
но что с ним делать дальше не знаю.

Вы напрасно свернули последнюю пару логарифмов. Там вроде как выйдет

$$\ln\frac13\,{\ln n+\ln\left(1+{1\over n}\right)\over \ln n}\sim \ln\frac13\left(1+{1\over n\,\ln n}\right)$$

(если я правильно понял ваши степени). С вытекающими отсюда последствиями.

Думаю этот ряд можно интерпретировать двумя способами:
$\sum (\ln((\ln(n+1))^{1/3}) - \ln((\ln n)^{1/3}))$
$\sum (\ln\ln((n+1)^{1/3}) - \ln\ln (n^{1/3}))$

в первом случае можно упростить до:
$\frac13\sum\ln (1+{1\over n\,\ln n})$
во втором без 1/3.

[Cave]

invisible1
Не забудьте, что при некоторых $x$ не все члены ряда $\dfrac 1 {n(n+x)}$ определены; такие $x$ в область сходимости не входят.