Сходимость рядов...

[invisible1]

Подскажите, пожалуйста, метод решения.
1) Исследовать сходимость

$$\sum_{n=2}^{\infty}{e^\frac{\sqrt{n}}{n^3-1}-1$$

2) Найти область сходимости ряда
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+x)}
3) Вычислить с точностью до $\epsilon=0.001$

$$\int_0^1{\frac{dx}{\sqrt{1+x^4}}$$

[ShMaxG]

1) Перейдите в выражении под суммой к эквивалентному, при $ n \to + \infty $, такому, что он сходится (здесь это просто).

2) При фиксированном икс сделайте то же, что и в п.1)

[invisible1]

Спасибо, а как это оформить? Можно так?
$$\sum_{n=2}^{\infty}{e^\frac{\sqrt{n}}{n^3-1}-1$$=

$$=\sum_{n=2}^{\infty}{e^{\frac{\sqrt{n}}{n^3}}-1=$$

$$=\sum_{n=2}^{\infty}{e^{n^(-2.5)}-1$$=
Я понимаю, можно рассмотреть предел при n стремящемуся к бесконечности...но тут...

[ShMaxG]

Вот равенство ни в коем случае ставить нельзя.

Лучше так:

$ e^{\frac{{\sqrt n }} {{n^3 - 1}}} - 1 \sim \frac{{\sqrt n }} {{n^3 - 1}} \sim \frac{1} {{n^{5/2} }},n \to \infty $

И магическую фразу не забудьте:

Из сходимости ряда $ \sum\limits_{n = 2}^{ + \infty } {\frac{1} {{n^{5/2} }}} $ следует сходимость исходного ряда.

[ewert]

invisible1 в сообщении #223785 писал(а):

3) Вычислить с точностью до $\epsilon=0.001$

$$\int_0^1{\frac{dx}{\sqrt{1+x^4}}$$

А вот с этим -- засада. Сочинители задачки явно запамятовали, что единичка -- это радиус сходимости подразумевающегося ряда. В результате чего тот ряд сходится, конечно (просто по Лейбницу), но -- чудовищно медленно. Если не ошибаюсь, то для получения правильной третьей цифры потребуется не менее двенадцати слагаемых. Дальше б вышло б и ещё много хуже.

[invisible1]

Спасибо, ShMaxG ! Все ясно с 1 и 2 примером!!!! А как быть с 3?

[ewert]

Под подразумевающимся рядом имелся в виду стандартный ряд Тейлора для степенной функции: $(1+t)^{\alpha}=\ldots,$ где $t=x^4,$ а $\alpha=-\frac12$.

[invisible1]

А, ясно, спасибо ewert!!! а до какого члена раскладывать?!!!!! до $O(x^3)$ хватит?до $O(x^{12})$?!!!!!!

[ewert]

По моим прикидкам (не то чтоб я в них так уж уверен, но и ошибок не вижу) -- увы, примерно до двенадцатого. Во всяком случае, по порядку уж точно так. Уж шибко медленно сходится тот ряд на границе области сходимости (на то она и граница).

[invisible1]

ewert в сообщении #223812 писал(а):

По моим прикидкам (не то чтоб я в них так уж уверен, но и ошибок не вижу) -- увы, примерно до двенадцатого. Во всяком случае, по порядку уж точно так. Уж шибко медленно сходится тот ряд на границе области сходимости (на то она и граница).

Спасибо!Кстати, а как насчет х во втором примере? На него не нужно обращать внимание?
Правильно ли я понимаю?

-- Вс июн 21, 2009 22:47:03 --

$$\frac{1}{n(n+x)}\sim \frac{1}{n^2}$[math] Ввиду сходимости $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} сходится исходный ряд...так?

[ewert]

Да, по гамбургерскому счёту -- правильно, не нужно. Только нужно это аккуратно оформить. Для каждого конкретного икса получается эквивалентность общих членов элементам последовательности $n^{-2},$ чего и достаточно.

-- Вс июн 21, 2009 22:51:56 --

Ну да, ровно так. Ну разве что надо ещё пару заклинаний насчёт знакоположительности (начиная с некоторого момента) добавить, если кто невзначай придерётся.

[apls]

Подскажите, как исследовать на сходимость ряд:
$\sum (\ln\ln(n+1)^{1/3} - \ln\ln n^{1/3})$
Можно свести к такому:
$\sum (\ln\log_n (n+1))$
но что с ним делать дальше не знаю.

-- Вс июн 21, 2009 22:56:52 --

invisible1 в сообщении #223815 писал(а):

На него не нужно обращать внимание?

похоже, что да. даже если он определен на R, ничего не изменится.

[invisible1]

ewert в сообщении #223817 писал(а):

Да, по гамбургерскому счёту -- правильно, не нужно. Только нужно это аккуратно оформить. Для каждого конкретного икса получается эквивалентность общих членов элементам последовательности $n^{-2},$ чего и достаточно.

-- Вс июн 21, 2009 22:51:56 --

Ну да, ровно так. Ну разве что надо ещё пару заклинаний насчёт знакоположительности (начиная с некоторого момента) добавить, если кто невзначай придерётся.

То есть, что $n^2$ растет быстрее n?
Кстати в окрестности нуля или единицы раскладывать в третьем примере?

[ewert]

Нуля, естественно. Я ж говорю, что кто-то явно зазивалси. То ли Ваш начальник, то ли Вы сами (назвав верхний предел единицей).

[invisible1]

Спасибо, ewert!!!!! До 12 члена сейчас на 3-5 страниц буду пример расписывать!!!!!!!!
А у 4 слагаемого уже степень 12... все равно дальше продолжать?!!!!!