помогите разобраться

[Dragon001]

дана функция z=x^2-4xy-y^2+2y , точка M_0 (2,1), вектор $\vec{s}$ $[3,4]$, замкнутая область G
Требуется найти:
1 Производную функции z= f(x,y) в точке М_0 по направлению вектора $\vec{s}$
2 Градиент функции z= f(x,y) в точке М_0
3 Величину наибольшей скорости изменения функции в точке М_0
4 Наименьшее m и наибольшее М значения функции z= f(x,y) в области G
решение:
1) z=x^2-4xy-y^2+2y нашел производные по x и y:
z'_x =2x-4y
z'_y =-4x-2y+2

какое действие нужно сделать что бы продолжить ?

[Gordmit]

Dragon001 в сообщении #221183 писал(а):

какое действие нужно сделать что бы продолжить ?

1) Вспомнить, что такое производная по направлению.
2) Вспомнить, что такое градиент.
3) В каком направлении скорость изменения функции максимальна?
4) Какая именно задана область $G$?

[meduza]

1. Производную по направлению можно найти как скалярное произведение гардиента функции на орт направления. (см. свои лекции или учебники)
2. Градиент считается элементарно, просто надо умножить наблу $\nabla$ на функцию. (см. свои лекции или учебники)
3. Когда ты дойдешь до этого пункта, ты поймешь, что ты уже нашел это. (см. свои лекции или учебники)

[Dragon001]

$G:$ $x\geqslant 0$ , $0\leqslant y\leqslant 4-x $
$\vec{s}$ его модуль нужно находить или можно сразу подставить как :
$cos \tilde\alpha = 3$
$cos \tilde\beta = 4$
частные производные, потом их значения в конкретной точке:
$z'_x(2,1)=2x-4y=0$
$z'_y(2,1)=-4x-2y+2=-8$

[meduza]

Найди орт $\vec{s_0}$, найди градиент $\nabla z = \frac{\partial z}{\partial x}\vec{e_x}+\frac{\partial z}{\partial y}\vec{e_y}$. Умножь орт на градиент скалярно - будет производная по направлению. Потом подставляй $M_0$.

[Dragon001]

а есть другой способ, просто я сколярное произведение не учил...не дошли ещё

[meduza]

Dragon001 в сообщении #221210 писал(а):

просто я сколярное произведение не учил

Градиент никак не может быть раньше базовых операций с векторами, включая разные виды произведений. Производные ты нашел, значит градиент тоже (координаты градиента - это производные по $z'_x$ и $z'_y$). Умножь соответствующие координаты $\vec{s_0}$ и градиента и сложи.

[Dragon001]

это понятно а как находить наибольшее и наименьшее

[meduza]

Dragon001 в сообщении #221218 писал(а):

это понятно а как находить наибольшее и наименьшее

Стандратный подход, описанный в ваших лекциях/учебниках: ищутся значения ф-и в экстремумах и на границе, из них выбирают наиб. и наим.