Собственные значения оператора - сохранение при смене базиса

[galileopro]

Нужно доказать или опровергнуть следующее утверждение: собственные числа матрицы оператора не меняются при переходе к другому базису.
Я такого нигде не слышал, знаю только что так как матрицы оператора в разных базисах связаны матрицей перехода, то там несложно доказать, что ранг и детерминант матрицы оператора не меняются при переходе к другому базису. Я это дело и сам доакзал и еще 2 способами.
Но про собственные числа ума не приложу что делать.
Я пробовал но свои соображения напишу позднее, так как нужно все четко сформулировать.
Пока что рассчитываю хотть на какую-либо помощь.
Кстати, если поможет, я пришел к выводу, что скорее всего (все зависит от правильности моих рассуждений), спектры матриц оператора в разных базисах совпадают.
Меня препод жучит уже неделю, плиз помогите хоть какими-то соображениями.
Заранее благодарен.

[mkot]

Воспользуйтесь тем, что собственные числа являются корнями характеристического многочлена.
И проверьте, меняется ли он при переходе к другому базису.

[Gordmit]

Собственные значения оператора - это корни характеристического многочлена. Докажите, что характеристический многочлен не изменится при переходе к другому базису (соответственно, и корни его не могут измениться).
Впрочем, это по-моему должно быть в любом учебнике по линейной алгебре.

[galileopro]

Спасибо. Я хочу попытаться сам проверить изменится он или нет.
Хотя да вот нашел в учебнике есть это.
Спасибо за идею.
Если сам доакжу (не глядя в учебник), то напишу обязательно.

[ewert]

galileopro в сообщении #220084 писал(а):

Нужно доказать или опровергнуть следующее утверждение: собственные числа матрицы оператора не меняются при переходе к другому базису.

Не нужны никакие характеристические многочлены; более того -- вредны.

При переходе к другому базису матрица какое преобразование испытывает?... -- правильно, подобия. Вот и докажите, что при подобном преобразовании между собственными векторами до и после есть взаимно однозначное соответствие, сохраняющее собственные числа. Это вполне банально (надобно просто одну матрицу слева направо перекинуть).

[terminator-II]

ewert в сообщении #220113 писал(а):

galileopro в сообщении #220084 писал(а):

Нужно доказать или опровергнуть следующее утверждение: собственные числа матрицы оператора не меняются при переходе к другому базису.

Не нужны никакие характеристические многочлены; более того -- вредны.

При переходе к другому базису матрица какое преобразование испытывает?... -- правильно, подобия. Вот и докажите, что при подобном преобразовании между собственными векторами до и после есть взаимно однозначное соответствие, сохраняющее собственные числа. Это вполне банально (надобно просто одну матрицу слева направо перекинуть).

отсюда не следует инвариантность алгебраической кратности собственного числа. а доказать инвариантность хар. многочлена ни сколько не сложнее чем то, что тут предложено

[vlad239]

А это мелкая проблема, ее можно пришибить полиномиальной аргументацией.

Влад.

[terminator-II]

vlad239 в сообщении #220118 писал(а):

А это мелкая проблема, ее можно пришибить полиномиальной аргументацией.

Влад.

а что такое полиномиальная аргументация?

[vlad239]

post210974.html

Влад.

[terminator-II]

vlad239 в сообщении #220122 писал(а):

http://dxdy.ru/post210974.html

Влад.

Вы это имеете ввиду:

vlad239 в сообщении #210974 писал(а):

Все стандартно. Докажите следующие факты.
1) коэффициенты характеристического многочлена (первого и второго) есть многочлены от элементов исходных матриц.
2) Если два многочлена от нескольких переменных совпадают при всех значениях переменных - они равны.
3) Если совпадают при всех значениях переменных кроме тех, для которых некий другой многочлен $H=0$, то тоже равны.

?

[vlad239]

Да, именно это.

Влад.

[terminator-II]

vlad239 в сообщении #220126 писал(а):

Да, именно это.

Влад.

а Вам не кажется, что такая выкладка $|C^{-1}AC-\lambda E|=|C^{-1}(A-\lambda E)C|=|C^{-1}||A-\lambda E||C|=|A-\lambda E|$
несколько проще? и одновременно вместе с вопросом топика отвечает и на вопрос об алгебраической кратности.

[vlad239]

Полиномальная аргументация - еще один метод, который полезно знать.

Скажем, теорему Гамильтона-Кэли с ее помощью ничуть не труднее доказывать, чем этот и впрямь не очень сложный факт.

Влад.

P.S. Вы и впрямь считаете, что я этой выкладки не знаю?

[ewert]

terminator-II в сообщении #220116 писал(а):

отсюда не следует инвариантность алгебраической кратности собственного числа.

Между прочим, вопрос о кратностях с.ч. не запрашивался, только их номенклатура. А с моей так точки зрения, геометрические вопросы (в т.ч. кратности) -- гораздо принципиальнее, чем алгебраические.

[galileopro]

Да кратность меня не интересует, хотя обсудить можно.
Главное показать, что спектры совпадают.
Спасибо огромное за участие. столько нового узнал.
Получается, что спектр - это тоже инвариант. Вау я выхожу из стадии дикареподобного существа.

terminator-II в сообщении #220127 писал(а):

$|C^{-1}AC-\lambda E|=|C^{-1}(A-\lambda E)C|=|C^{-1}||A-\lambda E||C|=|A-\lambda E|$

До неё я тоже додумался. Реально просто и ясно. Спасибо.
Она показывает, что вид характеристического многочлена не изменится при переходе к новому базису.
Я так понимаю (поправьте идиота если что), что алгебраическая кратность корней сохраняется. А геометрическая? Если кто знает, то напишите. Интересно все таки.