Задачи по дифф. геометрии

[AKM]

Здесь.
Пример: пишете $\dfrac{up}{down}$, получаете дробь $\dfrac{up}{down}$.
Пишете $\dfrac{dF}{dx}$, получаете $\dfrac{dF}{dx}$.
Пишете $F_x$, получаете $F_x$. Пишете $F_{xyz}$, получаете $F_{xyz}$.
В Вашей задачке формулы довольно сложные (как бы определители не понадобились). Поправим по возможности. Упражняться можно в разделе Тестирование.

[Dower]

Dower в сообщении #219122 писал(а):

Найти полную кривизну прямого геликоида $x = u\cos v, y = u\sin v, z = av$

Для удобства продублировал задачу --- AKM.

Сначала все выражаю через a, u и v.
$r_u = (\cos v;\sin v;0)$
$r_v = (-u\sin v;u\cos v;a)$
$r_u$ х $r_v = (a\sin v;-a\cos v;u)$
l$r_u$ х $r_v$l $= \sqrt{a^2+u^2}$
$r_{uu} = (0;0;0)$
$r_{vv} = (-u\cos v; -u\sin v; 0)$
$r_u^2 = 1$
$r_v^2 = u^2+a^2$
Затрудняюсь выразить $r_{uv}^2$ и $(r_ur_v)^2$

[AKM]

Dower в сообщении #219419 писал(а):

Затрудняюсь выразить $r_{uv}^2$ и $(r_ur_v)^2$

$r_{uv} = (-\sin v;\cos v;0)\quad\Longtrightarrow r_{uv}^2=\sin^2 v+\cos^2 v=1$.
$(r_ur_v)=-u\sin v \cos v+u\sin v \cos v=0$ (скалярные произведения векторов).

Код попроще: вместо
$r_u$ х $r_v = (a\sin v;-a\cos v;u)$
$r_u \times r_v = (a\sin v;-a\cos v;u)$:
$r_u \times r_v = (a\sin v;-a\cos v;u)$

[Dower]

Подставил в первую формулу и получилось
$K = -\dfrac{1}{a^2+u^2}$

но с ответом VALа почему-то не сходится

[AKM]

Будем надеяться, VAL отужинает и заглянет. Ему теперь будет легче и приятней проверять. Давайте и мы поужинаем.

(Просто мне показалось, что в справочнике даже смешанные произведения фигурировали, вторые квадратичные формы --- смерть и ужас, и я решил спрятаться и подсказывать только по мелочам. )

[Dower]

Пока жду проверки VALа может у кого-нибудь есть идеи с чего начать в третей задаче.

[Dan B-Yallay]

А чего там искать то. $x=0, \ y=0$ вот и все линии.

[ewert]

Dower в сообщении #219122 писал(а):

Найти асимптотические линии поверхности $z=x/y+y/x$

В цилиндрических координатах: $\displaystyle{z=\ctg\varphi+\tg\varphi={2\over\sin2\varphi}.}$ Т.е. поверхность выстлана горизонтальными лучами, идущими от оси $OZ$ к бесконечности на соответствующем для каждого полярного угла уровне. А вот что такое "асимптотические линии поверхности" -- я не знаю. Если имелись в виду плоскости, то да, конечно, это $x=0$ и $y=0.$

[AKM]

Dower в сообщении #219431 писал(а):

Подставил в первую формулу и получилось
$K = -\dfrac{1}{a^2+u^2}$

но с ответом VALа почему-то не сходится

Сверимся:

$$\begin{array}{lll} E=1,\quad&F=0,\quad &G=a^2+u^2;\\ L=0,&M=-\dfrac{a}{\sqrt{a^2+u^2}},&N=\mbox{ошибка}. \end{array} $$

И тогда, как у VAL,

$$K=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}=-\dfrac{a^2}{(a^2+u^2)^2}$$

Какие элементы первой и второй квадратичной форм у Вас не совпали?

[Dower]

Совпадает все кроме N. У меня

$N=\dfrac{(a\sin v;-a\cos v; u)}{\sqrt{a^2+u^2}}*(-u\cos v;-u\sin v;0)=\dfrac{-ua\sin v\cos v+ua\sin v\cos v}{\sqrt{a^2+u^2}}=0$

[AKM]

И Вы, похоже, правы.
Но поскольку у нас обоих $L=0$, а $N$ входит только в виде $LN\:({=}0)$, эта моя ошибка на результат не должна повлиять.

[Dower]

Да все тогда сходится с ответом VALа, наверное я в прошлый раз где то в вычислениях ошибся.

Всем спасибо за потраченое время и помощь.

[VAL]

Dower в сообщении #219607 писал(а):

Да все тогда сходится с ответом VALа, наверное я в прошлый раз где то в вычислениях ошибся.

Всем спасибо за потраченое время и помощь.

Разобрались? Это хорошо!
А тут и я, как раз, поужинал