гильбертовы пространства

[terminator-II]

$H$ -- гильбертово пространство; $U,V\subset H$ -- замкнутые подпространства; предположим дополнительно, что $U+V$ замкнуто; $P_U, P_V$ -- соответствующие ортогональные проекторы
обозначим $W=U\cap V$.
доказать, что $(P_UP_V)^n\to P_{W}$ при $n\to \infty$ в операторной норме

[Хорхе]

Попробуйте сначала доказать, что последовательность фундаментальна. Потом посмотрите, какими свойствами должен обладать предел.

-- Пт май 22, 2009 16:43:03 --

Перепутал раздел
Ну где-то так задача и решается

[grisania]

terminator-II в сообщении #216165 писал(а):

$H$ -- гильбертово пространство; $U,V\subset H$ -- замкнутые подпространства; предположим дополнительно, что $U+V$ замкнуто; $P_U, P_V$ -- соответствующие ортогональные проекторы
обозначим $W=U\cap V$.
доказать, что $(P_UP_V)^n\to P_{W}$ при $n\to \infty$ в операторной норме

Если не ошибаюсь, то я это видел в квантовой логике. Там вроде предел
$\lim {{({{P}_{U}}{{P}_{V}})}^{n}}={{P}_{W}}$
принимается за определение конъюнкции двух проекторов или другими словами пересечение подпространств, порожденных этими проекторами.
Поищите в инете ссылки на quantum logic. Кажется так определял конъюнкцию двух проекторов Макки (Mackey).

[Руст]

Мне кажется это неверно. Допустим $H$ трёхмерное евклидово пространство, $P_U:(x_1,x_2,x_3)\to (x_1,x_2+x_3,0)$ и $P_V:(x_1,x_2,x_3)\to (x_1,0,x_2+x_3)$ проекторы. Тогда $P_UP_V=P_U$.

[lofar]

Руст, так ваши проекторы не ортогональные.

[Руст]

Забыл, что в условии сказано об ортогональности.

[ewert]

, а это всё-таки принципиально

[Padawan]

Надо взять фактор пространство $(U+V)/W$ Тогда задача сведётся к случаю $U+V=H$ - прямая сумма. И показать, что норма $P_UP_V$<1.

[Padawan]

Кстати, а есть такое понятие - угол между подпространствами гильбертова пространства?

[terminator-II]

Есть такое понятие. Мы с ewert его тут как раз очень интересно обсуждали.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #224064 писал(а):

Надо взять фактор пространство $(U+V)/W$ Тогда задача сведётся к случаю $U+V=H$ - прямая сумма. И показать, что норма $P_UP_V$<1.

Про фактор не совсем понял. Как там скалярное произведение на факторе определяется?..

Но, безусловно, задача сводится к случаю, когда $U + V = H$ и $W = \{ 0 \}$. Первое очевидно в силу $\mathrm{Im} (P_UP_V) \subseteq U \subseteq U + V$, для второго достаточно рассмотреть ортогональное дополнение $W^\bot = \{ h \in H : (\forall w \in W)\big( (h,w) = 0 \big) \}$ к подпространству $W$ и ограничения операторов на это дополнение.

А вот далее начинается самое интересное. Неравенства $\| P_UP_V \| < 1$ будет, безусловно, достаточно для решения задачи. Однако оно не является необходимым условием для равенства нулю соответствующего предела. И я вот что-то уже начал сомневаться в том, что оно вообще будет выполняться в бесконечномерном случае. Хотя утверждать обратное тоже не возьмусь.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #224424 писал(а):

Про фактор не совсем понял. Как там скалярное произведение на факторе определяется?..

Попросту индуцируется -- в силу гильбертовости фактор-пространство определяется конструктивно как ортогональное дополнение.

Профессор Снэйп в сообщении #224424 писал(а):

А вот далее начинается самое интересное. Неравенства $\| P_UP_V \| < 1$ будет, безусловно, достаточно для решения задачи. Однако оно не является необходимым условием для равенства нулю соответствующего предела. И я вот что-то уже начал сомневаться в том, что оно вообще будет выполняться в бесконечномерном случае.

Для сходимости по операторной норме ненулевой угол -- это критерий, независимо от размерности. Эквивалентный замкнутости суммы. Соответственно, в конечномерном случае сходимость будет всегда и во всех смыслах.

Где-то тут это обсуждалось, только не помню, где.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #224444 писал(а):

Для сходимости по операторной норме ненулевой угол -- это критерий, независимо от размерности.

А как этот угол определяется?

[ewert]

Как минимум углов по всем парам векторов (для непересекающихся подпространств, естественно).

[Профессор Снэйп]

И почему этот минимум достигается?