Правильно ли(в рамках теории множеств)...

[shuchers]

Правильно ли(в рамках теории множеств), что между любыми двумя рациональными точками найдется бесконечное число иррациональных точек?
То есть неправильно говорить о том что функция Дирихле разрывна в каждой точке?

[PAV]

shuchers в сообщении #214687 писал(а):

Правильно ли(в рамках теории множеств), что между любыми двумя рациональными точками найдется бесконечное число иррациональных точек?

правильно

shuchers в сообщении #214687 писал(а):

То есть неправильно говорить о том что функция Дирихле разрывна в каждой точке?

функция Дирихле разрывна в каждой точке

[AD]

topic14828.html
topic1317.html

[shuchers]

Не понимаю почему эти два утверждения не противоречат друг другу.
Я рассуждаю следующим образом.
Функция Дирихле примает 1 рациональных точках, иначе 0.

Если функция разрывна в каждой точке, то это значит что иррациональные и рациональные точки чередуются. и функция Дирихле последовательно принимает значения 1, 0, 1, 0, 1, ...

Но тогда получается что рациональных и иррациональных чисел одинаковое количество.
В рамках теории множеств это не так. Следовательно функция Дирихле не является разрывной в каждой точке. Как же тогда она себя ведет?

Если между двумя рациональными точками находится бесконечное число иррациональных точек, то в пределе возникает такая ситуация, что между двумя рациональными точками больше нет ни одной рациональной, а только бесконечное число иррациональных точек. Следовательно, на этом участке между двумя рациональными точками функция равна 0.

почему то это бесконечное множество иррациональных точек принимают за одну точку?

[PAV]

shuchers в сообщении #214783 писал(а):

Если функция разрывна в каждой точке, то это значит что иррациональные и рациональные точки чередуются.

Неправильно. Если функция разрывна в некоторой точке - это означает лишь, что в этой точке нарушается условие непрерывности. Напишите определение непрерывности функции в точке и убедитесь в том, что оно нарушается в любой точке.

Все остальные рассуждения по поводу количества точек, их чередования и т.д. - плод фантазии. На любом интервале (между любыми двумя точками) бесконечное количество как рациональных, так и иррациональных точек. Оба эти множества всюду плотны на числовой оси.

[AD]

shuchers в сообщении #214783 писал(а):

иррациональные и рациональные точки чередуются

Неа. Если бы они чередовались, то эти множества были бы равномощны (ставим каждой иррациональной точке в соответствие следующую за ней рациональную), что неверно.

[VAL]

shuchers в сообщении #214783 писал(а):

Не понимаю почему эти два утверждения не противоречат друг другу.
Я рассуждаю следующим образом.
Функция Дирихле примает 1 рациональных точках, иначе 0.

Если функция разрывна в каждой точке, то это значит что иррациональные и рациональные точки чередуются. и функция Дирихле последовательно принимает значения 1, 0, 1, 0, 1, ...

Вы, очевидно, представляете себе точки на вещественной прямой, как, например, пиксели на экране.
Но числовая прямая устроена совсем по-иному. Там нет никаких соседних точек.

[hurtsy]

shuchers в сообщении #214783 писал(а):

Если функция разрывна в каждой точке, то это значит что иррациональные и рациональные точки чередуются. и функция Дирихле последовательно принимает значения 1, 0, 1, 0, 1, ...

На этом пути Вы прийдете к счетности несчетного множества. Ваши рассуждения сужают область определения функции Дирихле на счетное подмножество. С уважением,

[shuchers]

Большое спасибо. Я понял неправомерность своих рассуждений.