Пучки прямых и ГМТ

[e7e5]

При изучении параграфа, посвященного уравнению пучка прямых, учебника по Аналитической геометрии возник "самопальный" вопросик:

Какой гладкой кривой $L$ должны принадлежать центры пучков $S_l$ прямых, такой что длина наименьших отрезков, заключенных в первой четверти, для $S_l$ есть:

A) линейная функция
Б) квадратичная функция

Для кривой $L$ задана ее начальная точка $M(x_0;y_0)$ в первой четверти.

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

Какой гладкой кривой $L$ должны принадлежать центры пучков $S_l$ прямых, такой что длина наименьших отрезков, заключенных в первой четверти, для $S_l$ есть:

A) линейная функция...

Ничо не понял...

[ИСН]

"Пока мы телепатии учились, он под пальмой загорал"
Я "понял" почти всё, кроме: линейная (или там квадратичная) функция от чего?

[Алексей К.]

А до этого я как раз догадываюсь. Меняемся?

Добавлено спустя 2 минуты 9 секунд:

(Аватару с пальмой временно включил чисто как аккомпанемент для своей арии в Свободном Полёте.)

[ИСН]

Извольте. У пациента есть семейство прямых, проходящих примерно так: \\\. То есть у каждой прямой в первую четверть координатной плоскости попадает некий отрезок. У отрезка есть длина. Вот.

[e7e5]

ИСН писал(а):

"Пока мы телепатии учились, он под пальмой загорал"
Я "понял" почти всё, кроме: линейная (или там квадратичная) функция от чего?

"Дело было вечером...."

1) Через т. $M(x_0;y_0)$ проходит пучок прямых $S_{l0}$. Среди прямых пучка найдется какая-нибудь, что длина отрезка, принадлежащего первой четверти, будет минимальна.

Далее
2) Пусть из т.$M$ смещаемся в другую точку на элемент длины $dl$ так, что для новой точки, через которую проходит другой пучок прямых, длина следующего отрезка, принадлещащего первой четверти, будет минимальна.
Нужно смещаться по такой кривой $L$, чтобы функция изменение длины отрезков минимальной длины была A) линейной, в другом случае кривой $L$ Б) квадратичной
Так понятнее?

[Алексей К.]

А зачем вообще этот пучок, если мы из него сразу выбираем прямую, проходящую под углом $45(135)^\circ$? Именно она даёт отрезок минимальной длины.

Добавлено спустя 1 минуту 3 секунды:

Функция --- от чего?

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Функция --- от чего?

Длины вдоль кривой $L$ от $M(x_0;y_0)$

[Yu_K]

Ну, наверное, поторопились - например для точки (10,0.01) - "минимальный отрезок" не под 45 градусов пройдет.

[Алексей К.]

Верно, поторопился. Но виноватым назначу e7e5, --- это он мне мозги так запудрил.

Ну и какова же, для начала, зависимость $D_{min}(x_0,y_0)$?

[Yu_K]

Ну если взять уравнения прямых в виде $a(x-x_0)=b(y-y_0)$ , дальше переход к уравнению прямой в отрезках, теорема Пифагора, решение уравнения 4-ой степени и вроде получаем квадрат длины минимального отрезка $(x_0^p+y_0^p)(x_0^p-y_0^p)^2$ , $p=2/3$ - но естественно это не верно так, как для точек на прямой $x=y$ не проходит такой ответ. Значит где-то напутал.

[Алексей К.]

[upd]Ерунда удалена.[/upd]

Добавлено спустя 7 минут 19 секунд:

У меня случилось $D^2=\left(x_0^{2/3}+y_0^{2/3}\right)^3$.

Добавлено спустя 4 минуты 40 секунд:

Пахнет астроидой. Не как решением исходной задачи, а как ГМТ $D(x,y)=\mathrm{const}$. Савёлов куда-то запропастился...

Добавлено спустя 7 минут 45 секунд:

Ну да:

один сайт писал(а):

L’astroïde est donc aussi l’enveloppe d'un segment [AB] de longueur a dont les extrémités se déplacent sur deux droites perpendiculaires. Le point de contact M est le projeté du sommet C du rectangle (OACB) sur [AB] (et les points de la droite (AB)

[ИСН]

Савёлова не знаю, но что падающая вдоль стенки лестница заметает астроиду - это факт известный.

Добавлено спустя 32 секунды:

А, ну вот, я ж говорю.

[Yu_K]

Ну да со знаком я напутал... у Алексея К. правильный ответ. Лишний корень, то я правильно отбросил. Неверно посчитал.

В Синегале, братцы, в Синегале..
(ну в смысле "По французски я не понимаю, и она по русски...")

http://mathworld.wolfram.com/Astroid.html но тут вроде как задача про другую кривую, надо что бы была некоторая линейная зависимость и квадратичная зависимость. Дальше получается надо искать кривую, $x(t),y(t)$ чтобы $D(x(t),y(t))$ линейно (квадратично) росло с длиной этой кривой - записать то это не сложно. А вот как решить такое интегральное уравнение? Можно численно построить картинку, а может и аналитика есть для каких нибудь конкретных условий.

[Алексей К.]

Yu_K в сообщении #211828 писал(а):

но тут вроде как задача про другую кривую

А Вы и не ищите эту задачку. Они у автора самопридуманные (см. первый пост). Он любит кривые, по которым бегают зайчики сначала (А) равномерно, потом (Б) равноускоренно.

Добавлено спустя 15 минут 18 секунд:

Yu_K в сообщении #211828 писал(а):

А вот как решить такое интегральное уравнение?

По-моему, оно дифференцированием сразу превращается в громоздкое антилинейное хуже Рикккаттти дифф. уравнение. Кривую для простоты (хе-хе!) можно рассматривать как $y(x)$.