Мат.Ожидание, дисперсия абсолютно непрерывных распределений

[Neytrall]

Здравствуйте. Решите, пожалуйста, несколько примеров на которых я затормозил.
Мы к этой теме только коснулись, поэтому я в ней мало чего понял...
1. $X_i\sim Gamma(\alpha_i,\beta)$все независимые.
Надо доказать, что если $Y=\Sigma(X_i)$, то $Y\sim Gamma(\Sigma(\alpha_i), \beta)$
(Я делал такое с распределением Пуассона, а тут застрял)

2.а) $X \sim Gamma(r, \lambda)$. Надо найти мат. ожидание $Y=X^s$.
При каких $s$ есть мат. ожидание?
б)Дано $Z\sim N(0,1)$ $U\sim \chi_d=\Gamma(d/2,1/2)$ независимые распределения. Просят найти мат.ож и дисперсию $T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{U}{d}}}$
в) Дано $V\sim \chi_k^2=\Gamma(\frac{k}{2},\frac{1}{2}) $ и $ U\sim \chi_d^2=\Gamma(\frac{d}{2},\frac{1}{2})$
Просят найти мат.ож и дисперсию $W=\frac{V/k}{U/d}$

[Taras]

1.Характеристическими функциями - сумме н.о.р с.в. отвечает произведение х.ф.
Х.ф. гамма распределения-$ \psi(t)=(1-\frac {it} {\beta})^{-\alpha}$
Или честно посчитать свертку плотностей для двух распределений и по индукции.
2 а) через теорему о м.о. функции от с.в. И нужно вспомнить гамма-функцию.
б)распределение Стьюдента(м.о. просто считать - нолик, так как распределение симметрично) в) распределение Фишера
найти плотность можно через теоремы о распределение однозначных функций от с.в.
Почитать об этом можно в книге М.Я.Кельберт, Ю.М.Сухов "Вероятность и статистика в примерах и задачах: Т. 1: Основные понятия теории вероятностей и математическ ой статистики". стр.160-161.

[Neytrall]

Taras в сообщении #210054 писал(а):

Или честно посчитать свертку плотностей для двух распределений и по индукции.

Это мне больше подходит, ибо первое я не понял...
2 б,в) Я вижу что это Стьюдент и Фишер, но мы на лекции их даже не упомянали. Для нас круче Гамма-распределения и нормального ничего не сушествует....

[GAA]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться (M)" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться. Там же описано, как исправлять ситуацию (продемонстрировать во втором своём сообщении в теме содержательные попытки решения, указать конкретные затруднения).

Neytrall, посмотрите рекомендованную Вам литературу. Если рекомендованная литература недоступна в «бумажном» виде, Вы можете попробовать найти её в сети (poiskknig.ru, ebdb.ru). Вы можете найти ссылки на Интернет-ресурсы в теме Теория вероятностей раздела «Интернет-ресурсы (М)». В частности, обратите внимание на лекции Н.И. Черновой по ТВ.

[Neytrall]

Я повторюсь, но не могли бы вы мне помочь доказать то, что сумма гамма-распределений тоже имеет распределение гамма. $X_i \sim Gamma (\alpha_i, \beta)$
$Y=X_1+X_2$
Я вот где застрял:
$F_Y(y)=P(x_1+x_2<y)=M(F_x_1(y-x_2))= \dots$
$ =\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\beta^{\alpha_1}}{\Gamma(\alpha_1)}(y-x_2)^{\alpha_1-1}e^{-\beta(y-x_2)}\frac{\beta^{\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_2)}x_2^{\alpha_2-1}e^{-\beta x_2}dx_2=$
$=\frac{\beta^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}e^{-\beta y} \int\limits_{-\infty}^{\infty}(y-x_2)^{\alpha_1-1}x_2^{\alpha_2-1}dx_2 $

Отсюда я как-то должен прийти к Бета-распределению...а я его не вижу(
помогите

// Длинная формула разбита на части. / GAA

[Neytrall]

ни у кого нет идеи как это решать??

[RIP]

После троеточия у Вас стоит формула не для функции распределения, а для плотности, да и та с ошибкой: интегрировать надо не по всему $\mathbb R$, т.к. плотность гамма-распределения равна нулю на отрицательной полуоси.

[Neytrall]

RIP писал(а):

плотность гамма-распределения равна нулю на отрицательной полуоси.

это я знаю, я просто подставил в общую формулу.

Добавлено спустя 1 минуту 32 секунды:

Я списывал с тетради и просто подставил свои иксы. Это не то что я придумал, это нам профессор выдал)

[RIP]

Неправильно подставили. Если уж интегрируете по всему $\mathbb{R}$, то используйте формулу $Cx^{\alpha-1}e^{-\beta x}\chi_{(0;+\infty)}(x)$ для плотности гамма-распределения ($C=\beta^\alpha/\Gamma(\alpha)$).

[Neytrall]

это по формуле:
$f_z(Z)=Mf_x(z-y)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_x(z-y)f_Y(y)dy$ при $z=x+y$

[RIP]

Правильно. Подставляйте формулы для $f_{X_1}$ и $f_{X_2}$ и считайте.

P.S. $f_{X_1}(x)$ не равно $\frac{\beta^{\alpha_1}}{\Gamma(\alpha_1)}x^{\alpha_1-1}e^{-\beta x}$.

[Neytrall]

А чему равно?

[RIP]

$$\frac{\beta^{\alpha_1}}{\Gamma(\alpha_1)}|x|^{\alpha_1-1}e^{-\beta x}\chi_{(0;+\infty)}(x)=\begin{cases}\frac{\beta^{\alpha_1}}{\Gamma(\alpha_1)}x^{\alpha_1-1}e^{-\beta x},&x>0;\\0,&x<0.\end{cases}$$

[Prokop]

С интегралом трудно. Воспользуйтесь таблицей преобразований Лапласа.

[--mS--]

Neytrall писал(а):

А чему равно?

А Вы уже забыли, как в предыдущей теме - http://dxdy.ru/topic21623-30.html#205111 - мы две страницы это выясняли?

Но, видимо, так и не прояснили самого главного:
функции $f_1(x) = 1$ и $f_2(x)=\begin{cases} 1, & 7 < x < 12, \cr 0, & x \not\in (7,\,12)\end{cases}$ - это две разные функции. В частности, интеграл по всей прямой от первой не равен интегралу от второй:

$$\int\limits_{-\infty}^\infty f_1(x)dx = \int\limits_{-\infty}^\infty 1\,dx=+\infty$$

, а

$$\int\limits_{-\infty}^\infty f_2(x)dx = \int\limits_{7}^{12} 1\,dx \not= \int\limits_{-\infty}^\infty 1\,dx$$

.

Точно так же функция, равная $\dfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}$ - не плотность, и не её нужно подставлять под интеграл. Плотность $f(x)$ ей равна только если аргумент $x$ будет положителен! Аргументы у Вас под интегралом $z-y$ и $y$. Если хотя бы один из них нулевой, под интегралом стоит нуль.