локализационные промежутки

[tdk]

Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, что такое локализационные промежутки и как их найти для уравнения третьей степени (необходимо для вычисления корней методом половинного деления).
Заранее спасибо.

[ewert]

Это промежутки, на которых функция заведомо меняет знак (т.е. на противоположных концах которых она разного знака). Найдите участки монотонности (т.е. решите квадратное уравнение для второй производной). Если в экстремумах функция имеет разные знаки, то один промежуток найден, а два других ищутся перебором. Если одного знака или экстремумов нет, то -- просто перебором.

[gris]

Локализационные промежутки для корней это несколько непересекающихся интервалов на оси $x$, каждый из которых содержит ровно один корень уравнения и каждый корень содержится в одном из интервалов.

Что значит отделить (локализовать) корни аналитически? Это значит, найти интервалы, пользуясь различными теоремами: о количестве нулей многочлена, о том, что непрерывная функция, принимающая на концах отрезка значения разных знаков, имеет корень внутри этого отрезка, а строго монотонная функция - ровно один корень. Нужно не просто подобрать такие отрезки, но и доказать, что в каждом содержится ровно один корень и что число отрезков равно числу корней. Тут нам в помощь производная функции, точки максимумов и минимумов, интервалы монотонности.

Графически корни отделяются с помощьюю эскиза графика

Посмотрите http://dxdy.ru/topic20427.html

[tdk]

Спасибо большое.
Понятно. А то я в интернете не нашла.

Добавлено спустя 2 часа 51 минуту 13 секунд:

Подскажите еще, пожалуйста, как найти коэффициенты характеристического уравнения матрицы 3x3.

[gris]

Это уравнение

$$det(A-\lambda E)=0$$

Надо вычесть лямбду из всех элементов главной диагонали и приравнять определитель к нулю.

[tdk]

Это я знаю. Мне нужно написать программу нахождения коэффициентов характеристического уравнения. Нет ли такого метода, чтобы вычислить только коэффициенты.

[ewert]

Каждый коэффициент характеристического многочлена ести сумма всех главных миноров соответствующего порядка, умноженная на соответствующую степень минус единицы. Для матрицы три на три это: минус единица, след, минус сумма трёх миноров второго порядка и определитель матрицы.

[tdk]

Сумма трех миноров второго порядка... А каких именно?

[gris]

Я бы вывел формулу через элементы матрицы и не мучался. шесть скобок раскрыть и степени лямбды сгруппировать.

[tdk]

Так у меня же в программе символ посчитается как ASCII код, я думаю. Так не получится. Если у Вас есть мысли по этому поводу, подскажите, пожалуйста.

[gris]

$$(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)(a_{33}-\lambda)+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{13}(a_{22}-\lambda)a_{31} -a_{12}a_{21}(a_{33}-\lambda) -(a_{11}-\lambda)a_{23}a_{31}$$

если не напутал

Матрица задаётся элементами.

Вручную это дело посчитать, врукопашную. А в программу уж готовые формулы

[ewert]

tdk в сообщении #207378 писал(а):

Сумма трех миноров второго порядка... А каких именно?

Главных. Каждый из которых отвечает своему диагональному элементу.

[tdk]

gris писал(а):

$$(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)(a_{33}-\lambda)+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{13}(a_{22}-\lambda)a_{31} -a_{12}a_{21}(a_{33}-\lambda) -(a_{11}-\lambda)a_{23}a_{31}$$

если не напутал

Матрица задаётся элементами.

Вручную это дело посчитать, врукопашную. А в программу уж готовые формулы

У меня получилось
1) -1
2) $a_{11}+a_{22}+a_{33}$
3) $-a_{11}a_{33}-a_{11}a_{22}+a_{32}a_{23}+a_{12}a_{21}+a_{13}a_{31}$
4)...
Спасибо.

[gris]

Чуть внимательнее в третье строчке. Ну прямо то, что ewert прописал

[tdk]

еще $-a_{22}a_{33}$
Спасибо большое.

Добавлено спустя 11 минут 18 секунд:

Теперь, если характеристическое уравнение имеет вид:
$x_1\lambda^3+x_2\lambda^2+x_3\lambda+x4=0$
то вторая производная
$6\lambda x_1+2x_2=0$
Здесь знак меняется в зависимости от $\lambda$