Метод простой итерации

[SaveME]

Помогите пожалуйста с решением итерации, вот задание:

Сделать 2 итерации при решении уравнения:
x*x-4*x+4=0
методом простой итерации

очень срочно! зарание спасибо!

[ewert]

Снова какой-то бред. Видимо, преподаватель имел в виду, что уравнение надо привести к виду $x=f(x)$, где $f(x)=1+{1\over4}x^2$, и в качестве начального приближения взять $x_0=0$ (метод действительно сойдётся, хотя и паталогически медленно). Однако сообщить об этом опять же постеснялся. Ну что за стеснительный народ пошёл!

[SaveME]

ewert
так я не понял, это и есть все решение? просто метод сам ещё не разбирали, а на практике уже надо СРС сдавать((
и надо же сделать 2 итерации

[Xaositect]

SaveME в сообщении #196359 писал(а):

и надо же сделать 2 итерации

Первая итерация: $x_1 = f(x_0)$
Вторая итерация: $x_2 = f(x_1)$
Все просто

[ewert]

Ну кто ж может точно угадать, какие мысли бродят в голове у вашего начальства? Оно ведь тщательно это скрывает. Стандартно под методом итераций принято понимать схему $x_{n+1}=f(x_n)$, и от Вас вроде как (всего лишь вроде как!) требуется посчитать $x_1$ $x_2$.

[SaveME]

Xaositect
если первое приближение = 0, то и 2-е тому же равно?

Добавлено спустя 3 минуты 26 секунд:

а теперь может кто-нибудь поэтапно расписать, а то запутался, заранее спасиб!

[Xaositect]

SaveME в сообщении #196384 писал(а):

если первое приближение = 0, то и 2-е тому же равно?

Почему?
У Вас уравнение $x^2-4x+4=0$
Приведите его к виду $x = f(x)$

[SaveME]

$x^2-4x+4 = 0$
$x = \frac{x^2+4} {4}$
$x_0 = 0$
$x_1 = \frac{0^2+4} {4} = 1$
$x_2 = \frac{1^2+4} {4} = \frac 5 4$
помогите исследовать

GAA:
Темы соединены. SaveME, не надо создавать несколько топиков по одному вопросу.

[gris]

А чего тут исследовать?
При $x_0\in[-2;2]$ процесс сходится к 2. Иначе расходится.

$x=\left (\frac x2\right )^2+1$

У вас на занятиях произносились слова "сжимающее отображение"?

[SaveME]

gris
ммм... что-то не уверен, что это так

[gris]

В чём именно не уверены? В принципе сжимающих отображений?

Ну для данного примера можно объяснить на пальцах.

Рассмотрим последовательность $x_{i+1}=(x_i/2)^2+1$ с начальным членом $x_0$.
(Обратим внимание, что знак $x_0$ не существенен, так как $x_1$ и следующие члены не изменятся при перемене знака у $x_0$ и будут положительны.)

Рассмотрим разность $x_{i+1}-x_i= (x_i/2)^2+1 -x_i=(x_i/2-1)^2\geqslant 0 $

Это значит, что последовательность возрастает при любом $x_0$.

При $|x|\leqslant 2 \quad (x/2)^2+1 \leqslant 2$, то есть при $|x_0|\leqslant 2$ последовательность ограниченна сверху и следовательно имеет предел, который легко найти с помощью предельного перехода. Этот предел равен 2.

Рассмотрим случай $|x_0| > 2$. Она не может сойтись к 2, так как возрастает и не может сойтись ни к чему другому, так как опять же с помощью предельного перехода убеждаемся, что кроме 2 предела быть не может