Собственные интегралы, зависящие от параметра.

[G_Ray]

Помогите пожалуйста.
Найти: $F''_{xy}(x,y)$, если

$F(x,y) = \int\limits_{x/y}^{xy} (x-yz)f(z)dz$

Затруднения вызвало то, что у функции много переменных
В предыдущих заданиях (если что они все из Демидовича)
задания были вида:

найти: $F'(a)$, если дано $F(a)= \int\limits_{0}^{a} sinaxdx$ (ну и посложнее были конечно). По формуле Лейбница все хорошо решалось.
А тут я что-то запутался...

[Brukvalub]

Последовательно берите частные производные - при этом речь каждый раз будет идти о функции только от той переменной, по которой берется частная производная.

[G_Ray]

Да, мой промах. Я это сделал и не написал сюда. Впринципе в этом и вопрос. Эта задача заставила меня задуматься, над своими способностями дифференцирования

$F''_{xy}(x,y) = \left(\int\limits_{\frac {x}{y}}^{xy} (x-yz)f(z)dz\right)''_{xy}= y(y-yz)f(z)-\frac {(\frac {x}{y} - yz)f(z)}{y} + \int\limits_{\frac {x}{y}}^{xy} (1-yz)f(z)dz+x(x-xz)f(z)+(x-\frac{x}{y}z)f(z) \frac{x}{y^2}+\int\limits_{\frac {x}{y}}^{xy} (x-z)f(z)dz$

Проверьте пожалуйста, верно ли?

Добавлено спустя 51 минуту 12 секунд:

Посмотрел в ответы и...вообще разочаровался в себе.
$F''_{xy}=x(2-3y^2)f(xy)+\frac{x}{y^2}f(\frac{x}{y})+x^2y(1-y^2)f'(xy)$
Может я чего не совсем понимаю? С одной переменной все было отлично

[Henrylee]

G_Ray писал(а):

$F''_{xy}(x,y) = \left(\int\limits_{\frac {x}{y}}^{xy} (x-yz)f(z)dz\right)''_{xy}= y(y-yz)f(z)-\frac {(\frac {x}{y} - yz)f(z)}{y} + \int\limits_{\frac {x}{y}}^{xy} (1-yz)f(z)dz+x(x-xz)f(z)+(x-\frac{x}{y}z)f(z) \frac{x}{y^2}+\int\limits_{\frac {x}{y}}^{xy} (x-z)f(z)dz$

Обратите внимание, у Вас тут $z$ фигурирует, а ее быть не должно (функция-то от нее не заисит).

[G_Ray]

А куда её девать, не подскажете?

[Henrylee]

G_Ray писал(а):

А куда её девать, не подскажете?

Как куда? Вы когда интеграл с одним параметром в пределе интегрировани дифференцируете, куда ее деваете?
Это раз. А во-вторых, раз уж содним умеете дифф-ть, то проблем нет. Как уже Вам подсказали выше, дифференцируйте по очереди, принимая вторую переменную временно за константу.

[ASA]

G_Ray, вычислите сначала производную по $x$ и нам покажите.

[G_Ray]

Да я уже разобрался с этим. Спасибо всем.

[G_Ray]

Помогите с ещё одной задачкой:

Показать, что интеграл
$\int\limits_{0}^{+\infty} ae^{-ax}dx$
сходиться неравномерно в промежутке $0 \leq a\leq b$

[Brukvalub]

Проверьте отрицание определения равномерной сходимости.

[ASA]

Можно рассмотреть $\int\limits_n^\infty\frac{1}{n}e^{-\frac{1}{n}x}dx$ при $n\rightarrow\infty$.

[G_Ray]

Определение равномерной сходимости:
$\forall\varepsilon>0, \exists\delta>0, \forall\xi>\delta, \forall\alpha\in E, |\int \limits_{\xi}^{+\infty} f(x, \alpha)dx|< \varepsilon$

По отрицанию определения получается:
$| \int\limits_{\xi}^{+\infty} \alpha e^{-\alpha x}dx| \geq \varepsilon$

Делаем замену
$u= \alpha x$

Получаем
$| \int\limits_{\xi}^{+\infty} e^{-u}du| \geq \varepsilon$

Но дальше получается не интересно как-то. Мне кажется что пределы интегрирования должны были измениться при замене.

[Brukvalub]

G_Ray в сообщении #193862 писал(а):

Определение равномерной сходимости:
$\forall\varepsilon>0, \exists\delta>0, \forall\xi>\delta, \forall\alpha\in E, |\int \limits_{\xi}^{+\infty} f(x, \alpha)dx|< \varepsilon$

По отрицанию определения получается:
$| \int\limits_{\xi}^{+\infty} \alpha e^{-\alpha x}dx| \geq \varepsilon$

Отрицание записано "по-сиротски".

G_Ray в сообщении #193862 писал(а):

Мне кажется что пределы интегрирования должны были измениться при замене.

То есть, Вы знаете свою ошибку, и все равно городите ерунду. Достойный способ излагать свои мысли.

[G_Ray]

Нормально пишу отрицание:

$$ \exists\varepsilon>0$$

$$\forall\delta>0$$

$$\exists\xi>\delta$$

$$\exists\alpha\in E$$

$$|\int \limits_{\xi}^{+\infty} f(x, \alpha)dx| \geq \varepsilon$$

Цитата:

То есть, Вы знаете свою ошибку, и все равно городите ерунду. Достойный способ излагать свои мысли.

Ну я как бы не знал ошибку, но просто еслиб нижний предел был немного другим, было бы понятней что делать дальше.
Скажите пожалуйста, что за ошибка, и что я забыл.

[Brukvalub]

G_Ray в сообщении #193873 писал(а):

Нормально пишу отрицание:

$$ \exists\varepsilon>0$$

$$\forall\delta>0$$

$$\exists\varepsilon>\delta$$

$$\exists\alpha\in E$$

$$|\int \limits_{\xi}^{+\infty} f(x, \alpha)dx| \geq \varepsilon$$

Поищите в "нормальной" записи ошибку.