Множество решений системы уравнений с целыми коэффициентами

[Alik]

Имеется система линейных уравнений $Ax=b$, где $A$ и $b$ целые. Вроде бы решения такой системы могут быть только рациональными и вроде бы это следует из метода Гаусса. Хотелось бы найти этому подтверждение.

[maxal]

Если система полного ранга, то утверждение легко следует из метода Крамера. Более того, можно утверждать, что знаменатели в решении делят определитель матрицы $A$.

Если же система не полного ранга, то существуют и нерациональные решения - например, можно взять сумму векторов из фундаментальной системы решений с иррациональными (или даже трансцендентными) коэффициентами.

[Alik]

maxal, если я правильно понял, ваш ответ будет работать и для частного случая когда система имеет некоторое единственное решение и нужно определить к какому множеству оно относится, т.е. случай когда ранг матрицы $A$ равен рангу расширенной матрицы $A,b$ и равен числу переменных. Или я не прав?
Среди книжек которые у меня есть и в которых описан метод Крамера ответа подобного вашему я не нашел.
Можно правильную книжку?

По всей видимости статья ниже использует тот факт, что знаменатели в решении делят определитель матрицы $A$.
S. I. Veselov "Bounds for solution of linear diophantine equations"
С.И. Веселов "Доказательство обобщения гипотезы Бороша-Трейбига о диофантовых линейных уравнениях."

[Алексей К.]

Alik в сообщении #189398 писал(а):

Среди книжек которые у меня есть и в которых описан метод Крамера ответа подобного вашему я не нашел

Видимо, потому, что интересующий Вас вопрос о рациональности решений в книжках по линейной алгебре не ставится, он там неинтересен. Равно как и частный случай целых коэффициентов. Это вроде как совсем сбоку от линейной алгебры.

[ewert]

Alik в сообщении #189398 писал(а):

maxal, если я правильно понял, ваш ответ будет работать и для частного случая когда система имеет некоторое единственное решение и нужно определить к какому множеству оно относится, т.е. случай когда ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу переменных. Или я не прав?

Трудно сказать, прав или нет. Ответ maxal намеренно или ненамеренно путаный, ну а Вы и ещё добавили.

Одно можно сказать однозначно: рациональность решения гарантирована тогда и только тогда, когда решение существует и единственно. Последнее -- принципиально, и maxal это вроде как бы и сказал, но -- всё намёками, намёками... А уж "полнота ранга" и вовсе не по делу.

[Лиля]

я считаю что ответ maxal в полне полный -я думаю он хотел сказать что если
1)решение единственное то оно рациональное
2) если существует множество решений скажем $x_{k}\in (c_{k}, m_{k})\subset R$ то оно включает в себя и ирациональные решения поскольку любой такой интервал включает в себя неисчисляемое количество ирациональных чисел

[TOTAL]

Система полного ранга - что это такое?

[Лиля]

TOTAL в сообщении #189424 писал(а):

Система полного ранга - что это такое?

я так думаю под "полным" подрзумеваеться максимально возможный ранг для такой матрицы

[gris]

Матрицей полного ранга называется та, у которой ранг равен числу столбцов либо числу строк. Лиля права.
А системой, наверное, соответственно система, матрица (расширенная?) которой имеет полный ранг.
Я только боюсь, что если число уравнений больше числа неизвестных, то система полного ранга может оказаться несовместной.

[TOTAL]

Лиля писал(а):

TOTAL в сообщении #189424 писал(а):

Система полного ранга - что это такое?

я так думаю под "полным" подрзумеваеться максимально возможный ранг для такой матрицы

При таком подразумевании решение может быть как рациональным так и не рациональным.

Добавлено спустя 3 минуты 48 секунд:

Так и нечего отгадывать подразумевания полного ранга. Надо просто и однозначно сказать:

ewert писал(а):

Одно можно сказать однозначно: рациональность решения гарантирована тогда и только тогда, когда решение существует и единственно.

[ewert]

gris в сообщении #189429 писал(а):

Я только боюсь, что если число уравнений больше числа неизвестных, то система полного ранга может оказаться несовместной.

Видимо, в дополнение к TOTAL: если система с матрицей полного ранга, наоборот, недоопределена, то количество решений будет, скорее всего, бесконечным.

Именно поэтому "полнота ранга" к делу и не относится.

[Лиля]

TOTAL в сообщении #189433 писал(а):

При таком подразумевании решение может быть как рациональным так и не рациональным.

Да, вы правы если матрица не квадратная:)

[maxal]

ewert в сообщении #189402 писал(а):

Одно можно сказать однозначно: рациональность решения гарантирована тогда и только тогда, когда решение существует и единственно. Последнее -- принципиально, и maxal это вроде как бы и сказал, но -- всё намёками, намёками... А уж "полнота ранга" и вовсе не по делу.

Да, конечно, термин неудачный. Имелся в виду случай квадратной невырожденной матрицы $A$, при котором собственно правило Крамера только и применимо.

Добавлено спустя 5 минут 42 секунды:

Алексей К. в сообщении #189399 писал(а):

Видимо, потому, что интересующий Вас вопрос о рациональности решений в книжках по линейной алгебре не ставится, он там неинтересен. Равно как и частный случай целых коэффициентов. Это вроде как совсем сбоку от линейной алгебры.

Это скорее из области целочисленного программирования, которая хоть и пересекается с линейной алгеброй, но занимается совсем другими вещами.

[ewert]

но, между прочим, и автор темы тоже вполне прав: если система -- безо всякой экзотики, то рациональность решения вполне объясняется методом Гаусса.

[Alik]

Господа, а ведь матрица $A$ прямоугольная и прежде чем использовать метод Крамера надо как-то привести ее к квадратной. Но с другой стороны по условию решение существует и оно единственно, т.е и матрица вроде как квадратная, где правда?