Изопараметрическая задача

[backup2000]

Условие: Решить изопараметрическую задачу.
$J=\int\limits_0^1 (t\dot{x} + \dot{x}^2)dt,\, x(0)=0,\,x(1)=1$
$\int\limits_0^1(x+\dot{x}^2)dt=\frac{5}{2}$

Вот то что получилось:

$${\partial H \over \partial x} = 2\lambda (x+\dot{x})$$

$$\frac{\partial H}{\partial \dot{x}} = t+2\dot{x}+2\lambda(x+\dot{x})$$

$$\frac{d}{dt} \frac{\partial H}{\partial \dot{x}} = 1+2\ddot{x}+2\lambda(\dot{x}+\ddot{x})$$

$-3\ddot{x}+2\lambda x = 1 $

Общее решение:
$c_1 e^{\frac{1}{3}\sqrt{6 \lambda t}} + c_2 e ^{-\frac{1}{3}\sqrt{6 \lambda t}} + \frac{1}{2 \lambda} $

Подскажите, пожалуйста, дальейший путь решения.

(Someone, благодарю за подсказку с ТеХ)

[Someone]

backup2000 в сообщении #183549 писал(а):

(Прошу прощения за формулы, ТеХ плагин похоже немного глючит, посмотрите исходник)

Ничего он не глючит, просто Вы плохо читали инструкцию. Формулы нужно окружать знаками доллара (одинарными или двойными).

[ShMaxG]

backup2000

\[ \frac{{\partial H}} {{\partial x}} = 2\lambda \left( {x + \dot x} \right) \]

Это неверно. У Вас

\[ H = t\dot x + \dot x^2 + \lambda \left( {x + \dot x^2 } \right) \]

?

[backup2000]

да, похоже ошибочка возникла. напутал также с названием топика, изопериметрическая задача.

$$H = t \dot{x} + \dot{x}^2+\lambda x + \lambda \dot{x}^2$$ $$\frac{\partial H}{\partial x} = \lambda$$ $$\frac{\partial H}{\partial \dot{x}} = t + 2 \dot{x} + 2 \lambda \dot{x}$$

Уравнение Эйлера

$$\frac{\partial H}{\partial x} - \frac{d}{dt} \frac{\partial H}{\partial \dot{x}} = 0$$ $$\lambda = \frac{d}{dt}( t + 2 \dot{x} + 2 \lambda \dot{x})$$

Куда двигаться далее?

[ShMaxG]

Последняя строчка - это дифференциальное уравнение. Решите его. решения этого уравнения называются экстремалями. Затем учтите граничные условия и условия связи - найдете т.н. допустимые экстремали. Напишите, затем продолжим.

[backup2000]

я правильно понимаю что
$\frac{d}{dt} x == \dot{x}$ ?

и

$\frac{d}{dt}(2\lambda \dot{x}) = 2 \lambda \ddot{x}$

[ShMaxG]

backup2000 писал(а):

я правильно понимаю что
$\frac{d}{dt} x == \dot{x}$ ?

и

$\frac{d}{dt}(2\lambda \dot{x}) = 2 \lambda \ddot{x}$

Да, пока все правильно.

Добавлено спустя 14 минут 50 секунд:

Но лучше, кстати, так:

\[ \lambda dt = d\left( {t + 2\left( {1 + \lambda } \right)\dot x} \right) \Rightarrow \lambda t = t + 2\left( {1 + \lambda } \right)\dot x + C_1 \]

. Т.е. не переходить ко вторым производным.

[backup2000]

общее решение:

$$x = (\frac{\lambda -1}{4+4\lambda}) t^2 + C_1 T + C_2$$

Подставил начальные условия, получил:

$$x = (\frac{\lambda -1}{4+4\lambda}) (t^2-t) + t$$

Что дальше?

[ShMaxG]

backup2000
Я же Вам посоветовал искать это общее решение чуть по-другому, получится

\[ x = \frac{{\lambda - 1}} {{\lambda + 1}}t^2 + \frac{2} {{\lambda + 1}}t \]

. Еще нужно использовать условие связи, чтобы найти

\[ \lambda \]

[backup2000]

ShMaxG писал(а):

backup2000
Я же Вам посоветовал искать это общее решение чуть по-другому, получится

\[ x = \frac{{\lambda - 1}} {{\lambda + 1}}t^2 + \frac{2} {{\lambda + 1}}t \]

. Еще нужно использовать условие связи, чтобы найти

\[ \lambda \]

Каким образом его использовать?

[ShMaxG]

Ну подставьте туда это решение!

[Jnrty]

backup2000, пожалуйста, в своём первом сообщении все формулы окружите знаками доллара.

[backup2000]

нашёл $\lambda$, подставил в х, и это решение?

[ShMaxG]

Я Matlab'ом не пользуюсь... А что, у Вас возникают затруднения по вычислению интегралов в этой задаче?

[backup2000]

ShMaxG писал(а):

Я Matlab'ом не пользуюсь... А что, у Вас возникают затруднения по вычислению интегралов в этой задаче?

да, весьма трудоёмкая процедура, длинные выражения

Добавлено спустя 2 минуты 44 секунды:

Получилось 2 $\lambda$:

$$\lambda = -3,\, \lambda = -\frac{1}{5}$$

Какой из них нужен?