схожимость ряда

[111й]

Помогите пожайлуста проверить на сходимость.$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac {cosn^{4}} {5^n}
Я думаю его надо решать следующем образом раскладываем косинус поряду тейлора до первого элемента, т.е. 1 и получается ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac {1} {5^n}
а дальше я думаю надо по Коши делать.

[ewert]

ну Вы даёте. Во-первых, раскладывать надо не "до", а "ваще". Во-вторых, раскладывать полезно (в типичных случаях, да и вот в этом) только если аргумент маленький.

Ну а что числителем можно гордо пренебречь -- идея сама по себе здравая. Только надо её аккуратно оформить. Вспомните, что есть абсолютная сходимость, и что из неё следует, и что является достаточным условием сходимости для знакоположительных рядов.

[111й]

у меня получилось 0,2 это <1 значит ряд сходится. Подскажите правильно ли я получил ответ.

[Brukvalub]

111й в сообщении #181767 писал(а):

у меня получилось 0,2 это <1 значит ряд сходится. Подскажите правильно ли я получил ответ.

Ответ-то правильный, а вот как Вы его получили - неясно.

[Gortaur]

Очевидно, признак Коши: $a=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{|c_n|^{\frac{1}{n}}$. В случае автора ответ $a=\frac{1}{5}=0.2$. Про оценку числителя я также умолчу.

[ewert]

Очевидно, признак Коши сам по себе не прокатит. До него ещё надобно добраться -- как минимум избавившись от знаков. Ну а как доберёшься -- и никакие признаки, по большому-то счёту, станут уже не нужны.

[Brukvalub]

Gortaur в сообщении #181776 писал(а):

Очевидно, признак Коши: $a=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{|c_n|^{\frac{1}{n}}$. В случае автора ответ $a=\frac{1}{5}=0.2$. Про оценку числителя я также умолчу.

А почему не очевидно, что признак Даламбера?

[antbez]

А почему не применить сразу признак Абеля при исследовании на схоДимость?

[Brukvalub]

antbez в сообщении #181881 писал(а):

А почему не применить сразу признак Абеля при исследовании на схоДимость?

Боюсь, ничего не получится.

[antbez]

Ну, тогда "соседний признак' (Дирихле). Вообще сходимость же ряда видна сразу!

[Gortaur]

Косинус оцениваем единицей. Ряд сходится абсолютно.
Коши - очевидно, потому что в случае степеней советуют применять его. А Даламбера - в случае факториалов и т.д.
Это не строгое доказательство, но точно нам может сказать что он имел ввиду 111ый.

[Brukvalub]

antbez в сообщении #181886 писал(а):

Ну, тогда "соседний признак' (Дирихле).

Brukvalub в сообщении #181885 писал(а):

Боюсь, ничего не получится.