С-дифференцируемость и С-линейность

[Бабай]

Привет!

Требуется доказать, что С-дифференцируемые функции вида f(z) = u(x) + i v(y) являются в обязательном порядке С-линейными.

По идее естесвенный путь к форме f(z) ведёт через представление u(x) и v(x), которое получаем имея на руках их производные. То есть:
Из условий Коши-Римана и независимости (вещественнозначных) функций u(x) от y и v(y) от x вытекает, что производная в фиксированной точке z_0 равна вещественному числу a=f'(z_0)={\frac{\partial{f}}{\partial{z}}(z_0)={\frac{1}{2}}(\frac{\partial{u}}{\partial{x}}(x_0)+{\frac{\partial{v}}{\partial{y}}}(y_0))=\frac{d{u}}{d{x}}(x_0)=\frac{d{v}}{d{y}}(y_0), потому что мнимая часть для производной f пропадает (производные u(x) по y и v(y) по x равны нулю) и в силу С-дифф-мости из условий Коши-Римана производные u(x) и v(y) по x и y соответсвенно равны между собой.

Однако же отсюда нельзя получить С-линейность, потому что не фиксируя точку z_0, производные для u(x) и v(y) как функции хотя и равны друг другу, но не являются постоянными. Что делать?

Добавлено спустя 8 минут 16 секунд:

кстати пользуемся таким определением С-линейности: f(z) С-линейна если она имеет вид f(z)=az, где a=f(1) комплексная постоянная.

[Brukvalub]

Фиксируйте по очереди одну из переменных - так Вы докажете постоянство производной, ну а дальнейшее - ясно.

[Бабай]

странно. а разве в этом случае так делать можно? Фиксируя одну переменную я ж получаю значение производной как функцию от другой переменной...?

[Brukvalub]

Бабай в сообщении #176191 писал(а):

Фиксируя одну переменную я ж получаю значение производной как функцию от другой переменной...?

Да, и эта функция постоянна на каждой прямой, параллельной какой-либо оси. А тогда она просто постоянна.

[Бабай]

и ещё одна загвоздка: если даже производные для u и v постоянны, то что делать с хвостом из комплексной постоянной, которая появляется из представления для u и v? Она ж не тождественно равна нулю...а по идее должна быть ноль из-за f(1)=a

[Brukvalub]

Бабай в сообщении #176197 писал(а):

и ещё одна загвоздка: если даже производные для u и v постоянны, то что делать с хвостом из комплексной постоянной, которая появляется из представления для u и v? Она ж не тождественно равна нулю...а по идее должна быть ноль из-за f(1)=a

Признать наличие этого хвоста и смириться. Например, просто ненулевая константа удовлетворяет Вашему условию?

[Бабай]

Brukvalub писал(а):

Бабай в сообщении #176191 писал(а):

Фиксируя одну переменную я ж получаю значение производной как функцию от другой переменной...?

Да, и эта функция постоянна на каждой прямой, параллельной какой-либо оси. А тогда она просто постоянна.

интуитивно понятно...то есть это свойство сугубо комплексных функций?

Добавлено спустя 6 минут 19 секунд:

Brukvalub писал(а):

Бабай в сообщении #176197 писал(а):

и ещё одна загвоздка: если даже производные для u и v постоянны, то что делать с хвостом из комплексной постоянной, которая появляется из представления для u и v? Она ж не тождественно равна нулю...а по идее должна быть ноль из-за f(1)=a

Признать наличие этого хвоста и смириться. Например, просто ненулевая константа удовлетворяет Вашему условию?

вообще-то же нет, там же получается f(z=1)=f(1,0)=a+c, а не просто а. я знаю это банально, но здесь не уверен можно ли так оставить это или всё-тки какая-то неточность есть, потому что а у нас вообще-то чисто вещественное число.

[Brukvalub]

Бабай в сообщении #176199 писал(а):

интуитивно понятно...то есть это свойство сугубо комплексных функций?

Нет.

Бабай в сообщении #176199 писал(а):

здесь не уверен можно ли так оставить это или всё-тки какая-то неточность есть, потому что а у нас вообще-то чисто вещественное число.

Комплексная аддитивная постоянная здесь неизбежна.

[PAV]

[mod="PAV"]Тема перемещена в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.[/mod]

(Все формулы должны быть записаны через теги)