Привет!
Требуется доказать, что С-дифференцируемые функции вида f(z) = u(x) + i v(y) являются в обязательном порядке С-линейными.
По идее естесвенный путь к форме f(z) ведёт через представление u(x) и v(x), которое получаем имея на руках их производные. То есть:
Из условий Коши-Римана и независимости (вещественнозначных) функций u(x) от y и v(y) от x вытекает, что производная в фиксированной точке

равна вещественному числу

, потому что мнимая часть для производной f пропадает (производные u(x) по y и v(y) по x равны нулю) и в силу С-дифф-мости из условий Коши-Римана производные u(x) и v(y) по x и y соответсвенно равны между собой.
Однако же отсюда нельзя получить С-линейность, потому что не фиксируя точку

, производные для u(x) и v(y) как функции хотя и равны друг другу, но не являются постоянными. Что делать?
Добавлено спустя 8 минут 16 секунд:
кстати пользуемся таким определением С-линейности: f(z) С-линейна если она имеет вид f(z)=az, где a=f(1) комплексная постоянная.