Дифференциальные соотношения элементов сфер. треуг.

[barbar]

Здравствуйте!

Позвольте мне обратиться к Вам с прьбой о помощи. Прошу Вашего снисхождения, как к нематематику.

Помогите, пожалуйста, разобраться в следующем.

Дан сферический треугольник с углами A, B, C, ни один элемент которого не должен быть больше 180. Дано даллее, что F есть дополнение стороны AB до 90, D есть дополнение стороны BC до 90, H есть дополнение стороны AC до 90, причем указанные дополнения могут, при необходимости, принимать отрицательные значения.

Имеем сферическое уравнение (по теореме косинусов)

$$\sin H\ = \sin F\sin D\ + \cos F\cos D\cos B\text{.}\eqno{(1)}$$

,

причем F и D являются постоянными, B есть независимая переменная, H есть функция. Требуется найти дифференциальное соотношение dH/dB, точнее конечное приращение фнкции ΔH, которое пропорционально приращениям ΔB (чем больше угол B, тем больше противолежащая сторона Β и меньше ее дополнение H).

Мне понятно, что если взять выражение

$$\cos H\,\Delta H=-\cos F\cos D\sin B\,\Delta B\text{.}\eqno{(2)}$$

то в результате получится иcкомое конечное приращение

$$\Delta H\ =-\cos F\sin A\,\Delta B\text{.}\eqno{(3)}$$

.

Проблема заключается в том, что в литературе, которая мне доступна, предполагается, что читателю понятно, как из уравнения (1) получить уравнение (2). Мне, однако, непосчастливилось заниматься математикой на соответсвующем уровне и все мои познания есть хобби.

Я понимаю, что в соотношении

$$\frac {\Delta H} {\Delta B} = - \cos F\sin A$$

правая часть равенства является лимитом отношения приращений в левой части. Умею определить численное значение этого лимита для любого значения переменной B. Однако выше моих сил перейти от (1) к (2). К сожалению я ничего не помню и не могу нигде найти требющуюся конкретную информацию. Я вынужден, поэтому, попросить Вас не отказать в моей просьбе и объяснить мне, как из (1) сделать (2), по возможности, в доступной форме. Мне кажется, что, получив, в порядке исключения, готовый ответ, я смогу его проанализировать и самостоятельно разобраться, что к чему. Это соответствовало бы эдукационным целям Вашего сайта.

Остаюсь заранее благодарен.

barbar

[Brukvalub]

barbar в сообщении #174569 писал(а):

Проблема заключается в том, что в литературе, которая мне доступна, предполагается, что читателю понятно, как из уравнения (1) получить уравнение (2).

Иэ равенства функций следует равенство их дифференциалов, вот и все.

[barbar]

Очень благодарю за ответ.

Мне прийдется задать уточняющий вопрос. Очень надеюсь, что оправданием мне послужит сентенция: " Незнать - не плохо, плохо нехотеть знать".

Пожалуйста, подскажите, если я Вас правильно понял (отвлеченный пример):

$$\sin A = \cos (90 - A)$$

следовательно

$$d(\sin A) = d (\cos (90-A))$$

Это-ли Вы имели ввиду и правильно-ли написанное с точка зрения математики?

[Brukvalub]

barbar в сообщении #174637 писал(а):

Это-ли Вы имели ввиду и правильно-ли написанное с точка зрения математики?

Написано правильно, я использовал аналогичный факт.

[barbar]

Уважаемый Brukvalub!

Пытаюсь разобраться с вопросом. Прошу Вас, проверьте правильность следующего.

Отвлеченный пример 2.

$$\sin A = \cos (90-A)$$

$$\cos A\,\Delta A = \Delta A\sin(90-A)$$

$$\Delta A = \Delta A\cos A\sec A$$

$$\lim\frac{\Delta A}{\Delta A} = 1$$

Правильно-ли это и правда-ли, что

$$\lim A$$

в данном случае не может быт равен нулю?

Отвлеченный пример 3.

$$\sin A = \cos(90-A)\sin 90$$

$$\cos A\,\Delta A = \Delta A\sin (90-A)\sin 90$$

$$\Delta A = \Delta A\cos A\sec A\sin 90$$

$$\lim\frac{\Delta A}{\Delta A} = \sin 90$$

Правильно-ли я понимаю, что

$$\sin 90$$

в данном случае является частным случаем константы?

Отвлеченный пример 4.

Дан сферический треугольник ABC; A = 90; a = const.

$$\sin b = \sin a\sin B$$

$$\cos b\,\Delta b = \sin a\cos B\,\Delta B$$

$$\frac{\Delta b}{\Delta B} = \sin a\cos B\sec b$$

Правильно-ли решение?

Заранее благодарю за Ваш драгоценный час.

[Brukvalub]

barbar в сообщении #175001 писал(а):

Правильно-ли решение?

Правильно.

[barbar]

Выскажу предположение. В равенстве

$$\sin H\ = \sin F\sin D\ + \cos F\cos D\cos B\text{.}\eqno{(1)}$$

первое слагаемое является константой. Производная константы равна нулю, поэтому

$$\cos H\,\Delta H = 0 -\cos F\cos D\sin B\,\Delta B\text{.}\eqno{(2)}$$

Будьте добры, прав-ли я?

[Techno88]

да. у тебя же написано:

Цитата:

причем F и D являются постоянными, B есть независимая переменная, H есть функция.

а производная константы равна 0.

[barbar]

Все дело в том, что у меня между "написать" и "соотнести" - пропасть шириной в несколько дней. Большое спасибо за помощь, уважаемые математики.

Успехов Вам.

PS. Не посоветуете-ли литературу / учебники по дифференцированию сферических уравнений, которая соответствовала бы моему уровню знаний (точнее - незнаний)?. Очень бы хотелось в вопросе основательно разобраться.

[Brukvalub]

barbar в сообщении #175777 писал(а):

PS. Не посоветуете-ли литературу / учебники по дифференцированию сферических уравнений, которая соответствовала бы моему уровню знаний (точнее - незнаний)?. Очень бы хотелось в вопросе основательно разобраться.

В свою очередь попрошу Вас посоветовать мне, где купить вилку для поедания макарон левой рукой в семь часов вечера, сваренных зимой на третьем этаже без соли.

[barbar]

Конечно, я Вас понимаю. Я буду очень старатсья. Сейчас штудирую вот такой учебник

http://gis-lab.info/docs/books/sphere-t ... ometry.rar

В последней главе там есть кое-что о дифференцировании, но там этого очень мало. Поэтому я и спросил, если нет по дифференцированию сфер. уравнений подобного или приблизительно подобного учебника. Я уж с ним как-нибудь повоюю.

Заранее благодарю.

[Jnrty]

Jnrty:

barbar, учтите, пожалуйста, на будущее. По правилам форума (пункт 1к), которые Вы должны были прочесть при регистрации, все формулы должны быть написаны в формате \TeX. Об этом же гласит и надпись, которую Вы можете увидеть наверху страницы, сразу над названием темы. То же самое сказано в темах "!!!=ВАЖНО=!!! Тематика и правила данного раздела" и "Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться". Поэтому в следующий раз Ваша тема сразу окажется в "Карантине", если формулы не будут написаны как положено. Сравните:

barbar в сообщении #174569 писал(а):

cosH ΔH = - cosF cosD sinB ΔB (2),

и

$$\cos H\,\Delta H=-\cos F\cos D\sin B\,\Delta B\text{.}\eqno{(2)}$$

$$\cos H\,\Delta H=-\cos F\cos D\sin B\,\Delta B\text{.}\eqno{(2)}$$

О правилах записи формул можно прочесть в темах "Первые шаги в наборе формул" и "Краткий ФАК по тегу [mаth]." В последней теме также приведено много кодов различных математических символов.
О способах цитирования можно прочесть в теме "Цитирование и формулы."

Поэкспериментировать можно в разделе "Тестирование". Не забывайте также о кнопке "Предв. просмотр".

[Brukvalub]

barbar в сообщении #175934 писал(а):

Поэтому я и спросил, если нет по дифференцированию сфер. уравнений подобного или приблизительно подобного учебника. Я уж с ним как-нибудь повоюю.

Никаких особых правил дифференцирования именно сферических соотношений нет. Применяйте обычные правила дифференцирования.

[barbar]

В смысле замечаний модератора Jnrty все исправил. Благодарю всех.