Принцип максимума энтропии

[Cos(x-pi/2)]

(druggist)

druggist в сообщении #1737272 писал(а):

Возможно, статья "Making Sense of the Legendre Transform" прояснит условия применения принципа максимума энтропии

druggist, ссылка, которую Вы дали, ведёт на сайт nd.edu, и, например, у меня он не открывается до конца, так что статей там не видно. Может быть, вот ссылка https://arxiv.org/abs/0806.1147 на статью, о которой Вы говорите?

[druggist]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1737276 писал(а):

(druggist)
druggist, ссылка, которую Вы дали, ведёт на сайт nd.edu, и, например, у меня он не открывается до конца, так что статей там не видно. Может быть, вот ссылка https://arxiv.org/abs/0806.1147 на статью, о которой Вы говорите?

Ну да, там во вторй части про энтропию и свободную энергию. Такая полезная педагогическая статья

[pppppppo_98]

reterty в сообщении #1737135 писал(а):

В соответствии с этим принципом, система самопроизвольно выбирает тот путь (эволюционный процесс) в конце которого она имеет максимальную энтропию.

все не так..

При частичном описании физической системы (когда известны лишь некоторые её средние характеристики) следует выбирать такое распределение вероятностей, которое максимизирует информационную энтропию (неопределенность), при условии соблюдения всех известных ограничений.

-- добавлено через 12 минут --

warlock66613 в сообщении #1737180 писал(а):

Польза от понятия энтропии для такой системы, мягко говоря, сомнительна. Но даже для такой простой системы её можно подсчитать. Скажем, пусть система в чистом состоянии $a |1\rangle + b |2 \rangle$, где $1$, $2$ -- стационарные состояния. Тогда энтропия по общему правилу (считаем матрицу плотности, отбрасываем недиагональные члены, считаем энтропию фон Неймана) будет $-(|a|^2 \ln |a|^2 + |b|^2 \ln |b|^2)$

все у вас замечательно за одним ньюанесом - это в принципе неправильно. Ибо энтропия у вас зависит от выбора базиса (стационарное состояние может быть вырождено)... У любого чистого состояния аналог классической энтропии равен 0, только у смесей она ненулевая (и вы об этом точно знаете)... а вообще этих информционных мер для квантовых систем пруд-пруди. Холево постарался...

[warlock66613]

pppppppo_98 в сообщении #1737315 писал(а):

У любого чистого состояния аналог классической энтропии равен 0

Это частое заблуждение, но это заблуждение. Физическая энтропия — это энтропия именно макросостояния, а не микросостояния. Даже если микросостояние "чистое", макросостояние уже нет.

[pppppppo_98]

warlock66613 в сообщении #1737316 писал(а):

Даже если микросостояние "чистое", макросостояние уже нет.

мы тут согласны,
скажи серега (с) ...

[DimaM]

Как-то народ, по-моему, напрасно возбудился не по теме в ответ на простой пример распределения Больцмана, не дающего максимума энтропии.
Попробую привести другой: переохлажденный пар частично конденсируется, переохлажденная жидкость затвердевает, и энтропия при этом уменьшается.

[rascas]

DimaM в сообщении #1737327 писал(а):

... пример ... : переохлажденный пар частично конденсируется, ... , и энтропия при этом уменьшается.

Википедия писал(а):

Согласно второму закону термодинамики, энтропия изолированной системы возрастает или остается постоянной.

Ведь у вас система не изолированная?

[DimaM]

rascas в сообщении #1737331 писал(а):

Ведь у вас система не изолированная?

В стартовом сообщении ничего про изолированность не было.

[pppppppo_98]

DimaM в сообщении #1737327 писал(а):

Попробую привести другой: переохлажденный пар частично конденсируется, переохлажденная жидкость затвердевает, и энтропия при этом уменьшается.

переохлажденный пар с перегретой жидкостью термодинамически неравновесные состояния материи и их состояние (распределение вероятности в бесконечности по времени когда релаксационные процессы затихнут) не может быть описано в рамках статистической механики и универсальным понятием энтропии - ибо оное определено исключительно для равновесных систем. Так нас учит семья и школа и 5 книга бытия. Это предмет какой нибудь физической кинетики - процессы и скорость перехода от неравновесных распреледений к равновесным. со стеклом тут конечно интересный момент - оно что в смесь кристаллов кварца и силикатов щелочных металлов за миллиарды лет перейти должна

-- добавлено через 13 минут --

DimaM в сообщении #1737173 писал(а):

Например, для системы с двумя уровнями энергии равновесное распределение Больцмана вовсе не соответствует максимуму энтропии (энтропия максимально при равном количестве частиц на уровнях).

Мдв 5 книга бытия явно не в чести..Я ограниченную энергии внутреннюю энергию вы точно учли при переходе от микроканонического ансамбля к макроканоническому? Или у вас энергии хоть отбавляй

ЗЫ

По моему топикстартер еще намешал в кучу равновесную и неравновесную термодинамику. Эволюция это в неравновесной термодинамики, но там и не энтропия фигурирует, а ее производство (ака скорость роста)...

[druggist]

pppppppo_98 в сообщении #1737345 писал(а):

переходе от микроканонического ансамбля к макроканоническому"?

Это вы в пятой книге бытия такой ансамбль нашли?

[pppppppo_98]

Макро убери и получишь канаонический с рапределением Больцмана, если еще энергию огрпничить... В 5 книге 28 стих вывод какой-то странный, из МахEnt - куда красивее и быстрее получается. только понять надо, что полученное распределение это отражает наши знания о системы в условиях ограниченной доступной информации

[DimaM]

(pppppppo_98)

pppppppo_98 в сообщении #1737345 писал(а):

Я ограниченную энергии внутреннюю энергию вы точно учли при переходе от микроканонического ансамбля к макроканоническому? Или у вас энергии хоть отбавляй

Если бы это было по-русски, я бы, наверно, смог понять
А так только могу сказать, что имелась в виду классическая двухуровневая система при постоянной температуре.

$$F=U-TS,\quad U=\varepsilon n,\quad S=T\ln\Gamma, \quad \Gamma=\frac{N!}{n!(N-n)!},\quad N, n\gg 1.$$

Условие равновесия $\partial F/\partial n=0$, откуда получается распределение Больцмана $n/(N-n)=\exp(-\varepsilon/T)$, а максимум энтропии соответствует $n=N-n$.

[warlock66613]

DimaM, суть в том, что энтропия должна быть максимальна для всей системы вместе с термостатом, а не для системы. Если аккуратно посчитать (учтя, что полная энергия фиксирована и только перераспределяется между системой и термостатом), то это как раз даст каноническое распределение для системы. Но, я уверен, вы и так это знаете, так что я не понял зачем все пытаются вам это рассказать.

[DimaM]

warlock66613 в сообщении #1737381 писал(а):

DimaM, суть в том, что энтропия должна быть максимальна для всей системы вместе с термостатом, а не для системы.

С этим я не спорю, однако в стартовом сообщении, на мой взгляд, такого не утверждается (точнее, проглядывает рассмотрение именно системы в отрыве от термостата).
Хорошо бы ТС зашел и разъяснил ситуацию...

[pppppppo_98]

Звыняй.. в основном на латыни отвечу - так в школе/институте привили

Вводим функционал на пространстве распределений вероятности N уровневой системы $p_i$ $S[p]=-\sum_i p_i \ln{p_i}$ при условии $\sum_i p_i=1$

Теперь путь раздвоится.
1. Ничего не предполагаем об энергии системы (микроканоническое распределение)
тогда $S[p] \to \max{} \text{conditioned} \sum_i p_i=1$. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

$$F[p,\lambda]=S[p]+\lambda( \sum_i p_i -1)=-\sum_i p_i \ln{p_i}+\lambda( \sum_i p_i -1)\to\max{}$$

$\frac{\partial F}{\partial p_i}=-\ln{p_i}-1+\lambda=0$
Решение $p_i=\frac{1}{N}$ - равнораспределение
2. Предполагаем что фиксирована энергия (каноническое распределение), то есть добавляем условие $\sum_i p_i E_i = E$

$$F[p,\lambda,\beta]=-\sum_i p_i \ln{p_i}+\lambda( \sum_i p_i -1)+\beta(\sum_i p_i E_i - E)\to\max$$

$$\frac{\partial F}{\partial p_i}=-\ln{p_i}-1+\lambda +\beta\E_i=0$$

Решение. $p_i=\frac{1}{\mathcal{Z}}e^{-\beta E_i}$, где $\mathcal{Z}=\sum_i e^{-\beta E_i}$ - распределение Больцмана. Если теперь взять такую простую систему как идеальный газ и все это проделать с ней , получив уравнение состояния, то будет видно, что $\beta=\frac{1}{T}$

Сразу говорю истину не открыл - вспомнил лишь то что в любом современном учебнике по статфизике пишут. Что бы два раз с места не вставать ау вас там на дискретном пространстве было (на подмножестве натуральных чисел),легко преодолевается как тоже стандартно водится в статфизике путем задействования формулы Стирлинга. Если ввести переменное число частиц и соотвественно химический потенциал - получим большой канонический ансамбль...Ну и так далее