Комплексные числа

[Antoshka]

Здравствуйте! Подскажите, правильно ли я понимаю.
1) По определению $i^2=-1\Leftrightarrow i=\pm\sqrt{-1}\Leftrightarrow \sqrt{-1}=\pm i$;
У Зорича это написано явно: мнимая единица ищется как корни уравнения $x^2=-1$;
2) Чему равно $\sqrt[3]{1+4i}-\sqrt[3]{1+4i}$?
На первый взгляд кажется, что $\sqrt[3]{1+4i}-\sqrt[3]{1+4i}=0$; Это если действовать по аналогии с действительными числами. Но можно ведь привести и аналогию из множества комплексных чисел вида $\sqrt[3]{1+10i}-\sqrt[3]{1+4i}$;
В последнем выражении каждый из корней дает по три комплексных числа. Значит надо брать их все возможные сочетания. Поэтому непонятно по какой аналогии считать выражение $\sqrt[3]{1+4i}-\sqrt[3]{1+4i}$;
В аксиомах на этот счет я ничего не нашел. Если оно все же равно лишь нулю, то поясните, на основании какой аксиомы.
3) Пусть у нас есть функция вида $f(a)=\sqrt{a^2-4}\cdot k^{\sqrt{a^2-4}}$; Известно, что $a\in (0; \ 2)$; Здесь $k>0; \ k\in\mathbb{R}$;
Я понимаю так, что раз $\sqrt{-1}=\pm i$, то его можно записать четыремя способами, так как корень из минус единицы принимает два значения, но у нас два $\sqrt{a^2-4}$, поэтому четыре способа.

[warlock66613]

Antoshka в сообщении #1736799 писал(а):

По определению $i^2=-1\Leftrightarrow i=\pm\sqrt{-1}\Leftrightarrow \sqrt{-1}=\pm i$

Во-первых со знаком $\pm$ так обходиться нельзя: запись $x = \pm y$ означает, что $x$ принимает два значения, одно равно $y$, другое $-y$. А якобы эквивалентная запись $y = \pm x$ означает совсем другое: тут $y$ принимает два значения, а не $x$. Во-вторых, для комплексных чисел понятие арифметического квадратного корня не определено. $\sqrt {-1} = \pm i$ верно -- оно означает, что корень является многозначной функцией и принимает в данном случае два значения. Но $i=\pm\sqrt{-1}$ неверно.

Antoshka в сообщении #1736799 писал(а):

Чему равно $\sqrt[3]{1+4i}-\sqrt[3]{1+4i}$?

Смотря что имел в виду человек, написавший это. Если имеется в виду, что в обоих случаях нужно брать одно и то же значение корня, то это ноль. Если имеется в виду, что нужно отдельно перебирать корни для каждого знака радикала, то не ноль. Если пояснений нет, то скорее всего второе: первое должно быть оговорено.

Antoshka в сообщении #1736799 писал(а):

его можно записать четыремя способами

Кого "его", что значит "записать" и при чём тут комплексные числа?

[Antoshka]

warlock66613 в сообщении #1736804 писал(а):

Во-первых со знаком $\pm$ так обходиться нельзя: запись $x = \pm y$ означает, что $x$ принимает два значения, одно равно $y$, другое $-y$. А якобы эквивалентная запись $y = \pm x$ означает совсем другое: тут $y$ принимает два значения, а не $x$. Во-вторых, для комплексных чисел понятие арифметического квадратного корня не определено

Тогда если $i^2=-1$---это определение мнимой единицы, то непонятно, что вообще возводится в квадрат.

warlock66613 в сообщении #1736804 писал(а):

Кого "его", что значит "записать" и при чём тут комплексные числа?

Я описался. Я имел в виду мою функцию. Комплексные числа здесь при том, что $\sqrt{-4+a^2}=\sqrt{-1} \sqrt{4-a^2}$; Где $a\in (0; \ 2)$; И дальше вместо $\sqrt{-1}$ подставляем равенство $\sqrt{-1}=\pm i$; Поэтому получается четыре варианта записи.

[warlock66613]

Antoshka в сообщении #1736805 писал(а):

Тогда если $i^2=-1$---это определение мнимой единицы, то непонятно, что вообще возводится в квадрат.

Это не определение. По крайней мере обычно определяют не так. Комплексные числа -- это на самом деле пары действительных чисел. Например, $(5; 3)$ или $(0; 7{,}2)$. Любая пара действительных чисел -- это комплексное число и любое комплексное число -- это пара действительных чисел. На этих парах вводится сложение и умножение. Сложение делается так (это определение):

$$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),$$

а умножение (тоже определение) так:

$$(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc).$$

Далее доказывается, что пары вида $(x, 0)$ ведут себя в точности как обычные действительные числа, поэтому их можно с ними отождествить и вместо например $(5; 0)$ писать просто $5$.
Далее доказывается, что любое число можно представить в т. н. алгебраической форме, а именно

$$(a, b) = (a, 0) + (b, 0) \cdot (0, 1) = a + b \cdot (0,1).$$

И наконец, для удобства вводят короткое обозначение для числа $(0, 1)$ как $i$ (вот как оно определяется!). В итоге получается, что алгебраическая форма $(a, b)$ записывается как $a + bi$.

А теперь вы можете попробовать доказать, что $i \cdot i = -1$.

[пианист]

(Оффтоп)

Antoshka в сообщении #1736805 писал(а):

Комплексные числа здесь при том, что $\sqrt{-4+a^2}=\sqrt{-1} \sqrt{4-a^2}$; Где $a\in (0; \ 2)$; И дальше вместо $\sqrt{-1}$ подставляем равенство $\sqrt{-1}=\pm i$; Поэтому получается четыре варианта записи.

Так оно так и так, если $\sqrt{b}$ понимать как решение уравнения $x^2=b$, то их будет два (когда $b$ не ноль), $\pm$.
Мнимая единица дает возможность извлекать корень, грубо говоря, из чего угодно.

[Antoshka]

По вашему свойству

warlock66613 в сообщении #1736808 писал(а):

а умножение (тоже определение) так:

$$(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc).$$

должно быть $a=c=0$, $b=d=1$, поэтому $(0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0).$
Короче я понял.

[warlock66613]

Antoshka, через корень уравнения на самом деле тоже можно определять, но это сложнее: тут требуются начальные знания высшей алгебры -- нужно знать, что такое кольцо, идеал, фактор-кольцо. Обычно все сначала изучают комплексные числа, определяя их примерно так, как я показал выше, а уже сильно позже изучают высшую алгебру и понимают как можно альтернативно определить через корень. А у меня например в университете высшей алгебры вообще не было в программе обучения.

[Antoshka]

warlock66613 в сообщении #1736813 писал(а):

Antoshka, через корень уравнения на самом деле тоже можно определять, но это сложнее: тут требуются начальные знания высшей алгебры -- нужно знать, что такое кольцо, идеал, фактор-кольцо. Обычно все сначала изучают комплексные числа, определяя их примерно так, как я показал выше, а уже сильно позже изучают высшую алгебру и понимают как можно альтернативно определить через корень. А у меня например в университете высшей алгебры вообще не было в программе обучения.

Высшая---это которую общей называют? По ней рекомендуют учебник и задачник Кострикина, насколько я помню.

[warlock66613]

Antoshka в сообщении #1736814 писал(а):

Высшая---это которую общей называют?

Она самая. По учебнику не могу ничего посоветовать. Могу только сказать, что была такая тема: post113501.html#p113501

[CosPi]

Дополню сказанное. warlock66613 уже объяснил, что ответ зависит от трактовки знака корня, а пианист — что корень естественно понимать как множество решений уравнения $x^2=b$. Повторять это не буду; вместо этого доведу обе трактовки до явных ответов — благо считаются они до конца.

Сначала общая рамка. Многозначность — свойство уравнения $w^n=z$, а не записи $\sqrt[n]{z}$. Запись начинает что-то означать только после соглашения: либо (А) фиксируем ветвь и получаем функцию (в $\mathbb R$ эту роль играет арифметический корень, в $\mathbb C$ стандартное соглашение — главное значение $\sqrt[n]{z}=|z|^{1/n}e^{i\arg z/n}$, $-\pi<\arg z\le\pi$), либо (Б) понимаем $\sqrt[n]{z}$ как множество всех $n$ корней.

1) Про $i$. К построению через пары (его warlock66613 привёл в #4) добавлю штрих, снимающий, как мне кажется, недоумение из #3: пары $(0,1)$ и $(0,-1)$ алгебраически неразличимы. Отображение $\varphi(a,b)=(a,-b)$ — автоморфизм поля $\mathbb C$: оно сохраняет сложение и умножение —

$$\varphi\bigl((a,b)(c,d)\bigr)=(ac-bd,\,-(ad+bc))=\varphi(a,b)\cdot\varphi(c,d)$$

— и оставляет на месте каждое вещественное число. Значит, любое утверждение об $i$, записанное через $+$, $\cdot$ и вещественные константы, останется верным после замены $i\mapsto-i$: «настоящего» $i$ не существует, есть выбор обозначения. Возводится в квадрат конкретная пара $(0,1)$ — но мнимой единицей с тем же успехом можно было объявить $(0,-1)$, и вся теория с точностью до переобозначения осталась бы прежней. (В терминах #7: подстановка $X\mapsto-X$ переводит идеал $(X^2+1)$ в себя и потому спускается до автоморфизма факторкольца $\mathbb R[X]/(X^2+1)$ — это и есть сопряжение.)

2) Про $\sqrt[3]{1+4i}-\sqrt[3]{1+4i}$.

(А) Если корень — функция, то, как заметил warlock66613 в #2, оба вхождения берутся одинаковыми и выходит ноль. Ответ на вопрос «на основании какой аксиомы» складывается из двух шагов. Сначала работает не аксиома, а само определение: одинаковая запись обозначает один объект, и в этом качестве $\sqrt[3]{1+4i}$ — функция, принимающая в каждой точке единственное значение. Дальше — аксиома поля (существование противоположного элемента): для любого $x$ определён $-x$ и $x+(-x)=0$, а $a-b$ по определению есть $a+(-b)$. Искать её надо было не среди свойств корня, а среди свойств любого элемента поля — она одинакова для $\mathbb R$ и $\mathbb C$. Так что аналогия с действительными числами держится не на свойствах $\mathbb R$, а на том, что и там, и тут под корнем понимается функция: в любом поле $E-E=0$ для любого осмысленного $E$.

(Б) Если же ветви двух вхождений выбираются независимо — а warlock66613 справедливо заметил, что без оговорок скорее подразумевается именно это, — выражение принимает не «какое-то ненулевое» значение, а ровно семь значений, и их можно выписать явно. Пусть $u$ и $v$ независимо пробегают тройки корней уравнения $w^3=z$ (здесь $z=1+4i\ne0$), $d=u-v$. Тогда

$$0=u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2),$$

откуда либо $d=0$, либо $(u/v)^2+(u/v)+1=0$, т.е. $u/v\in\{\omega,\omega^2\}$, $\omega=e^{2\pi i/3}$. Во втором случае $d=v(\omega-1)$ или $d=v(\omega^2-1)$; поскольку $(\omega-1)^3=3\sqrt3\,i$ и $(\omega^2-1)^3=-3\sqrt3\,i$, получаем $d^3=\pm3\sqrt3\,iz$, т.е. в любом случае $d^6=-27z^2$. Обратно, шесть значений $w_0\omega^k(\omega-1)$ и $w_0\omega^k(\omega^2-1)$, $k=0,1,2$ (где $w_0^3=z$), попарно различны — модули одинаковые, а направления чередуются через $\pi/3$, — и все они удовлетворяют $d^6=-27z^2$; корней у этого уравнения ровно шесть, так что перечень полный. Итого множество значений — в точности корни уравнения

$$d\,(d^6+27z^2)=0.$$

Для $z=1+4i$: $z^2=-15+8i$, поэтому $d^6=405-216i$. Устроены они геометрически так: ноль и шесть ненулевых значений в вершинах правильного шестиугольника с центром в нуле и радиусом $\sqrt3\,|z|^{1/3}=\sqrt3\cdot17^{1/6}$ (кубические корни из $z$ — вершины правильного треугольника, а шесть разностей его вершин — его стороны, взятые в обоих направлениях). Забавный побочный эффект: два знака кубического корня породили «корень седьмой степени» — значений ровно столько, сколько корней у выписанного уравнения 7-й степени. (Любопытства ради: для корня степени $n$ независимая разность принимает $n(n-1)+1$ значений при нечётном $n$ и $n^2/2+1$ при чётном; при $n=2$ — три значения, при $n=4$ — девять.)

(В) Про «надо брать все возможные сочетания»: даже в трактовке (Б) это опция, которую надо оговаривать, а не автоматическое правило. Классический пример — формула Кардано: для $x^3+px+q=0$ корень ищется в виде $x=u+v$, где $u^3=-q/2+\sqrt D$, $v^3=-q/2-\sqrt D$, $D=q^2/4+p^3/27$. Формальных сочетаний девять (по три значения у каждого кубического корня), но годятся лишь три: пары связаны условием совместимости $uv=-p/3$ — после выбора $u$ второе слагаемое уже определено, $v=-p/(3u)$.

3) Про $f(a)=\sqrt{a^2-4}\cdot k^{\sqrt{a^2-4}}$ — явного ответа на этот пункт, насколько вижу, пока не было. Дилемма та же, но с новым нюансом: $f$ названа функцией, а функция по определению сопоставляет каждому $a\in(0;2)$ ровно одно значение. Значит, оба вхождения $\sqrt{a^2-4}$ — один и тот же терм при том же аргументе — обязаны совпасть, и «четырёх способов» не выходит. Если сверх того потребовать, чтобы выбор ветви был согласован по всему интервалу (например, непрерывен по $a$), остаются ровно две возможности, $\sqrt{a^2-4}=\pm is$, где $s=\sqrt{4-a^2}$, и две гладкие функции

$$f_\pm(a)=\pm\,is\,e^{\pm is\ln k},$$

сопряжённые друг другу; обе однозначны и гладки на всём $(0;2)$ — точки ветвления $a=\pm2$ лежат вне интервала. Соглашение о главном значении, $\sqrt{a^2-4}=is$, выделяет из них одну, $f_+$. Четыре значения $(\pm is)\,k^{\pm is}$ возникают ровно в «независимой» трактовке из п. 2(Б), так что подсчёт $2\times2=4$ верен — но как явное соглашение, а не следствие аксиом (при отдельных сочетаниях $a$ и $k$ некоторые из четырёх могут и совпасть). А если быть последовательным до конца и допустить многозначность ещё и в степени, $k^z=e^{z\,\mathrm{Ln}\,k}$, $\mathrm{Ln}\,k=\ln k+2\pi in$, значений будет счётно много: они различаются модулем множителя $e^{\mp2\pi sn}$. Для вещественного $k>0$ степень по общепринятому соглашению однозначна ($k^z:=e^{z\ln k}$), и получается аккуратная лесенка ответов: одна функция (главная ветвь) — две согласованные ветви $f_\pm$ — четыре независимых значения — счётное множество (многозначная степень).

Кстати, равенство $\sqrt{-s^2}=\sqrt{-1}\cdot s$, на которое опирается переход из #3, в обеих трактовках выполняется — здесь повезло: у сомножителей аргументы $\pi$ и $0$, их сумма не выходит из диапазона главной ветви. Настоящая трещина в аналогии с вещественными числами проходит не через $a-a=0$, а через тождество $\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b$: для главных значений $\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=i^2=-1$, тогда как $\sqrt{(-1)(-1)}=1$.

Резюме. Знак корня в $\mathbb C$ сам по себе — ни число, ни множество: смысл он получает только от соглашения. После соглашения всё считается явно: трактовка (А) даёт $0$ и функцию $f_+$ (с возможностью согласованно сменить ветвь — на пару $f_\pm$), трактовка (Б) — семь и четыре значения соответственно.