Формализация понятия наблюдателя по Igor_Zhuk

[Igor_Zhuk]

Geen в сообщении #1735249 писал(а):

Igor_Zhuk в сообщении #1735239 писал(а):

Центр отрезка служит геометрическим образом сохраняемой точки соотнесения.

Нет никакого отрезка, а тем более, его центра. И никаких сохраняемых точек нет по данному Вами определению "соотнесения".

Отрезок был прямо задан в сообщении с отражением. Повторю общую модель и геометрический пример, указав стандартное математическое происхождение и смысл каждого элемента.


Теория множеств: непустое множество и его элементы.

Носитель различений — множество $S$. Состояния — его элементы, выступающие сторонами различений.

$S\ne\varnothing.$


Теория групп: свободная инволюция.

Акт преобразования $\alpha$ — обратимый обмен сторон различения. Он переводит состояние в другое, а повторное применение возвращает исходное.

$\alpha:S\to S,\qquad \alpha^2=\mathrm{id}_S,\qquad \forall x\in S:\ \alpha(x)\ne x.$


Теория действий групп: орбиты действия группы порядка два.

Акт двустороннего различения представлен парой разных состояний, связанных обменом. Множество таких пар обозначено $\mathcal D$.

$\mathcal D=\bigl\{\{x,\alpha(x)\}:x\in S\bigr\}.$

Проекция на множество орбит.

Наблюдатель — роль, которая связывает смену состояний с сохранением общего контекста. В модели эта роль выражена сохраняемым чтением $\pi$: оно сопоставляет состоянию его пару.

$\pi:S\to\mathcal D,\qquad \pi(x)=\{x,\alpha(x)\}.$

Инвариантность проекции и её классы.

Сохраняемый контекст — пара состояний, рассматриваемая как одно двустороннее различение. Обмен стороны сохраняет этот контекст, а разные пары чтение различает.

$\pi\circ\alpha=\pi,$

$\forall x,y\in S:\quad \pi(x)=\pi(y)\iff y\in\{x,\alpha(x)\}.$


Теперь возьмём минимальный пример:

$S=P=\{-1,1\}.$

Евклидова геометрия: включение дискретной пары в отрезок и отражение.

Геометрическое представление акта различения: два исхода изображены концами отрезка, а их обмен — отражением.



$P=\{-1,1\},\qquad I=[-1,1],\qquad P\subset I.$

$r:I\to I,\qquad r(t)=-t,\qquad \alpha=r|_P.$

Евклидова геометрия: середина отрезка и неподвижная точка отражения.

Сохраняемая точка соотнесения $c$ — общая середина двух исходов. Она служит геометрическим образом сохраняемого контекста.

$c=\frac{-1+1}{2}=0,\qquad c\in I\setminus P.$

Она является единственной неподвижной точкой отражения:

$r(t)=t\iff t=0.$

В этом минимальном примере орбита одна:

$\mathcal D=\{P\}.$

$\pi:P\to\{P\},\qquad \pi(x)=\{x,\alpha(x)\}=P.$

Таким образом, $\pi$ сохраняет пару, а её середина в выбранном геометрическом представлении остаётся неподвижной при $r$. Поэтому центр и назван геометрическим образом сохраняемой точки соотнесения.

В абстрактном определении $\pi$ отрезок не задаётся. В геометрическом примере он задан явно, вместе с отражением и его неподвижной точкой. Центр принадлежит этой конструкции, хотя среди двух дискретных исходов его нет.

Как видно, все использованные определения и операции стандартны в математике. Моя идея — объединить их в описание организующей роли наблюдателя.

Связь дискретной и геометрической частей задана явно: $\alpha=r|_P$. Это один и тот же обмен, рассматриваемый на двух исходах и на всём отрезке.

Совместимость этих частей в одной конструкции описывается стандартной теорией действий групп. Отражение сохраняет пару: $r(P)=P$, поэтому его действие можно ограничить на $P$, получив $\alpha$. Чтение $\pi$ является проекцией на орбиты этого же действия. Вложение пары в отрезок и проекция согласованы с действием одной группы порядка два — это стандартное понятие эквивариантности.

Общее условие модели — сохранение контекста при обмене сторон:

$\pi\circ\alpha=\pi,\qquad r(c)=c.$

Исходы меняются местами, принадлежность одной паре сохраняется, а её геометрический центр остаётся неподвижным. Роль наблюдателя я связываю с этой согласованной организацией преобразования и сохраняемого контекста. Среди двух различаемых исходов отдельного состояния для неё нет.

[realeugene]

Igor_Zhuk в сообщении #1735258 писал(а):

$r:I\to I,\qquad r(t)=-t,\qquad \alpha=r|_P.$

Среди ваших определений не было подобных операций.

[Sergej Materov]

Работа интересная, но назревает вопрос: Если дано конечное множество состояний $X$, свободная инволюция $\kappa$ и семейство отношений $\mathcal R$, сохраняемых $\kappa$, то при каких условиях существует единственная внешняя фиксированная точка непрерывной реализации, и можно ли определить её как необходимую позицию наблюдения?

[Igor_Zhuk]

realeugene в сообщении #1735261 писал(а):

Igor_Zhuk в сообщении #1735258 писал(а):

$r:I\to I,\qquad r(t)=-t,\qquad \alpha=r|_P.$

Среди ваших определений не было подобных операций.

В общей модели отражение на отрезке не задаётся как самостоятельный примитив. Оно введено отдельно в геометрическом примере: при $I=[-1,1]$ формула $r(t)=-t$ определяет эту операцию.

Запись $\alpha=r|_P$ означает ограничение отражения на пару $P=\{-1,1\}$, то есть:

$\forall x\in P:\quad \alpha(x)=r(x)=-x.$

На двух исходах отражение совпадает с ранее определённым обменом. Отрезок и отражение заданы дополнительно, а их согласованность с обменом выражена этим равенством.

-- добавлено через 16 минут --

Sergej Materov в сообщении #1735262 писал(а):

Работа интересная, но назревает вопрос: Если дано конечное множество состояний $X$, свободная инволюция $\kappa$ и семейство отношений $\mathcal R$, сохраняемых $\kappa$, то при каких условиях существует единственная внешняя фиксированная точка непрерывной реализации, и можно ли определить её как необходимую позицию наблюдения?

Чтобы говорить о неподвижном центре, нужно указать, в каком пространстве расположены состояния и как обмен действует на остальные его точки. Одни $X,\kappa,\mathcal R$ этого ещё не задают.

В показанных примерах все противоположные пары имеют общую середину, а обмен реализуется центральным отражением. В этой реализации центр является единственной неподвижной точкой. Он входит в саму конструкцию, хотя не входит в множество дискретных исходов. Поэтому «внешний» здесь означает только «не являющийся одним из этих исходов».

Роль наблюдателя я связываю с общей и связанной организацией различений, геометрическим образом которой служит центр. Конечно, существование такого центра в выбранной реализации и необходимость его как позиции наблюдения — разные утверждения. Второе это уже отдельное обоснование.

[realeugene]

Igor_Zhuk в сообщении #1735263 писал(а):

с общей и связанной организацией различений, геометрическим образом которой служит центр.

Определения!

И вообще, вы начали определения с операций на множествах общего вида, а теперь после какого-то паса руками они вдруг оказываются упорядоченными.

[Igor_Zhuk]

realeugene в сообщении #1735271 писал(а):

И вообще, вы начали определения с операций на множествах общего вида, а теперь после какого-то паса руками они вдруг оказываются упорядоченными.

На произвольном множестве $S$ ни порядок, ни геометрия не предполагаются. Для геометрического примера отдельно выбран частный случай:

$S=P=\{-1,1\},\qquad I=[-1,1],\qquad P\subset I.$

Два исхода представлены концами отрезка, а отражение задано формулой:

$r:I\to I,\qquad r(t)=-t.$

Под согласованностью дискретного и геометрического описаний здесь понимаю условие:

$\alpha=r|_P.$

То есть на двух исходах геометрическое отражение совпадает с ранее определённым обменом.

Чтение задано отображением:

$\pi:P\to\{P\},\qquad \pi(x)=\{x,\alpha(x)\}.$

Его согласованность с обменом выражена равенством:

$\pi\circ\alpha=\pi.$

Обмен меняет сторону, а чтение сохраняет принадлежность той же паре. С этой функцией чтения я связываю роль наблюдателя в минимальной модели.

В одной математической конструкции можно использовать структуры из разных областей математики, явно задавая связи между ними.

Здесь теория множеств описывает исходы, теория групп — их обмен, а геометрия — отрезок и отражение. Условия согласования этих частей приведены выше.

Теория категорий даёт общий язык для описания структур из разных областей математики и отображений между ними в одной схеме. В данном примере включение пары в отрезок согласовано с действием обмена — это стандартное понятие эквивариантности.

Центр $c=0$ принадлежит отрезку, не входит в пару исходов и остаётся неподвижным при отражении. Он задан выбранным геометрическим представлением, а не выведен из одного определения $\pi$.

[realeugene]

Igor_Zhuk в сообщении #1735273 писал(а):

На произвольном множестве $S$ ни порядок, ни геометрия не предполагаются. Для геометрического примера отдельно выбран частный случай:

$S=P=\{-1,1\},\qquad I=[-1,1],\qquad P\subset I.$

Так это пример чего именно? В общем случае ваших построений на произвольном множестве, с некоторой непервой попытки формализованной ранее, нет никакой геометрии ведь. И неподвижных точек нет.

То, что геометрические симметрии могут индуцировать симметрии на множествах точек в пространстве - это давно хорошо известно и широко применяется например в кристаллографии. Ну и что? Вы не упомянули геометрии в разделе определений, значит, и не можете ссылаться на какие-либо дополнительные свойства этих математических структур.

Кстати, геометрии бывают и на дискретных неупорядоченных линейных пространствах над полями Галуа.

[Igor_Zhuk]

realeugene в сообщении #1735281 писал(а):

Так это пример чего именно?

Спасибо за уточняющий вопрос: я уже слишком привык к сути теории и не замечаю пропусков. И заранее прошу прощения за многобуквенный ответ. Это самый непривычный для понимания аспект идеи, и он требует развёрнутого ответа, похоже.

Цитата:

В общем случае ваших построений на произвольном множестве, с некоторой непервой попытки формализованной ранее, нет никакой геометрии ведь. И неподвижных точек нет.

То, что геометрические симметрии могут индуцировать симметрии на множествах точек в пространстве - это давно хорошо известно и широко применяется например в кристаллографии. Ну и что? Вы не упомянули геометрии в разделе определений, значит, и не можете ссылаться на какие-либо дополнительные свойства этих математических структур.

Это пример двух согласованных представлений одного акта различения. Дискретно он представлен парой исходов и их обменом; геометрически — концами непрерывного отрезка, отражением и его неподвижной серединой.

Связь дискретного и непрерывного в одной конструкции сначала может казаться чем-то неестественным. Но переходы между разными математическими описаниями мы постоянно используем, порой не замечая. Например, зная длины катетов, гипотенузу можно вычислить арифметически по теореме Пифагора, а можно построить прямоугольный треугольник с катетами той же длины и измерить гипотенузу геометрически.

В минимальном примере целое — два исхода вместе с правилом их обмена. Переход между представлениями задан явно:

f:\{0,1\}\to\{-1,1\},\qquad f(b)=2b-1,\qquad f(1-b)=-f(b).

Дискретное двоичное дополнение становится отражением относительно геометрического центра отрезка. Сохраняется связь между сторонами различения, хотя способ её выражения меняется. Продолжение отражения на весь отрезок имеет неподвижную середину — она не является третьим исходом.

Суть моей идеи — описывать различения, их организацию в целое и переходы между представлениями этого целого вне привязки к единственной области математики.

Общую опору такого соотнесения я считаю чем-то вроде метацентра. В замысле это также точка перехода между представлениями. Сам переход здесь задан отображением f, а сохранение структуры обмена — приведённым равенством.

С ролью наблюдателя я связываю эту организацию соотнесения. В теории она развита до понятия интерфейса наблюдателя: он связывает преобразование состояний с сохранением контекста и согласованием этих представлений. Поэтому геометрический центр изображает лишь один аспект этой роли в заданном примере.

Цитата:

Кстати, геометрии бывают и на дискретных неупорядоченных линейных пространствах над полями Галуа.

Да, разумеется, и на этом, кстати, можно показать тот же переход для цветового куба.

Простейшее поле Галуа — \mathbb F_2=\{0,1\}, где 1+1=0. Наши восемь двоичных троек образуют пространство Q=\mathbb F_2^3.

Целое здесь — система восьми состояний, отношений между ними и допустимого обмена. Отношения заданы числом различающихся разрядов: это соседство, связи внутри троек RGB/CMY и противоположность, показанные ранее.

Обмен всех разрядов задаётся сдвигом:

\kappa(x)=x+(1,1,1).

Зададим представление этих состояний вещественными вершинами куба:

F:Q\to\{-1,1\}^3,\qquad F(x_1,x_2,x_3)=(2x_1-1,2x_2-1,2x_3-1).

В правой части разряды рассматриваются как вещественные числа. На всём теле куба зададим отражение:

r:[-1,1]^3\to[-1,1]^3,\qquad r(z)=-z.

Согласование обмена выражено равенством:

F\circ\kappa=r\circ F.

Сначала обменять двоичные состояния и затем представить их геометрически — то же самое, что сначала представить их геометрически и затем отразить относительно центра.

Отображение F взаимно однозначно и сохраняет число различающихся координат. Поэтому состояния и выбранные отношения восстанавливаются обратным переносом без потери. В этом смысле представления изоморфны; арифметика поля при этом не отождествляется с вещественной арифметикой.

Теперь на этом примере можно пояснить три функции введённого выше интерфейса наблюдателя.

Преобразование состояний — обмен всех двоичных разрядов посредством \kappa. В геометрическом представлении ему соответствует отражение противоположных вершин куба.

Сохранение контекста — чтение того, какая противоположная пара рассматривается внутри целого:

\pi(x)=\{x,\kappa(x)\},\qquad \pi\circ\kappa=\pi.

При обмене сторона меняется, но принадлежность той же паре сохраняется.

Согласование представлений — перенос посредством F, связывающий двоичные состояния с геометрическими:

F\circ\kappa=r\circ F.

Пара \{x,\kappa(x)\} получает представление \{F(x),-F(x)\}. Состояния и выбранные отношения между ними сохраняют возможность обратного восстановления.

В этом примере центр вещественного куба служит геометрическим образом введённого выше метацентра.

[realeugene]

Igor_Zhuk в сообщении #1735345 писал(а):

геометрически — концами непрерывного отрезка, отражением и его неподвижной серединой.

Так концы отрезка - это тоже дискретное множество.

Igor_Zhuk в сообщении #1735345 писал(а):

Продолжение отражения на весь отрезок имеет неподвижную середину — она не является третьим исходом.

Биективное отображение на дискретном множестве точек концов отрезка можно бесконечным числом способом продолжить до биективного отображения всего отрезка, причем не обязательно до непрерывного и, тем более, до линейного. Сколько точек будет при этом сохраняться при отображении - это полный произвол. Может быть ни одной, может быть почти все.

Igor_Zhuk в сообщении #1735345 писал(а):

Суть моей идеи

Выглядит как сверхценная идея.

[Igor_Zhuk]

realeugene в сообщении #1735429 писал(а):

Так концы отрезка - это тоже дискретное множество.

Да, пара концов остаётся дискретной. Непрерывным является весь отрезок, на котором дополнительно задано отражение. При этом два исхода не превращаются в непрерывное множество: их обмен получает продолжение на непрерывное пространство.

realeugene в сообщении #1735429 писал(а):

Сколько точек будет при этом сохраняться при отображении - это полный произвол.

Для произвольных биективных продолжений — согласен. Но в приведённом примере конкретное продолжение уже задано формулой r(t)=-t.

Да, продолжение в моём примере задано явно: r(t)=-t. Но его аффинность следует непосредственно из формулы, поэтому отдельно вводить её как требование для этого примера не было необходимости. Конечно произвольные биективные продолжения могут иметь другие свойства, но среди аффинных продолжений заданного обмена это отражение единственно.

r(t)=At+B,\qquad r(-1)=1,\qquad r(1)=-1,

то условия на концах дают A=-1,\ B=0. Следовательно:

r(t)=-t,\qquad r(t)=t\iff t=0.

Поэтому в выбранной аффинной реализации середина определяется однозначно. Из одного обмена двух исходов без условий на продолжение этот вывод действительно не следует.

Согласование представлений и свойства продолжения — два отдельных условия конструкции. Равенство \alpha=r|_P задаёт первое; аффинность отражения — второе.