Одномерное неупругое рассеяние

[fizGSE]

(Оффтоп)

Нет, это я сам себе придумал в целях саморазвития.

-- добавлено через 4 минуты --

amon в сообщении #1735031 писал(а):

$\frac{1}{E-\hat{H}_0-i 0}$

Кстати, а разве не должно быть $\frac{1}{E-\hat{H}_0+i 0}$, чтобы получались расходящиеся волны?

[fizGSE]

amon в сообщении #1735031 писал(а):

Для этого надо решить уравнение

$$\hat{H}_0G(x_1,x_2)-E G(x_1,x_2)=\delta(x_1)\delta(x_2),$$

Кроме того, разве такое уравнение для ядра оператора $(E-\hat{H}_0\pm i 0)^{-1}$?
Разве не это

$$(E-\hat{H}_0\pm i 0)G(x_1,x_1',x_2,x_2')=\delta(x_1-x_1')\delta(x_2-x_2')$$

[amon]

fizGSE в сообщении #1735069 писал(а):

Кстати, а разве не должно быть $\frac{1}{E-\hat{H}_0+i 0}$, чтобы получались расходящиеся волны?

Тут разбираться надо. Задача одномерная, условия рассеяния

$$\begin{cases} \Psi_f=e^{ikx}+R e^{-ikx} & \text{при x<0} \\ \Psi_f=T e^{ikx} & \text{при x>0}, \end{cases}$$

где $\Psi_f$ -- волновая функция свободной частицы. Это если частица летит слева направо, если справа налево, то знаки в экспонентах обратные.

fizGSE в сообщении #1735071 писал(а):

Разве не это

$$(E-\hat{H}_0\pm i 0)G(x_1,x_1',x_2,x_2')=\delta(x_1-x_1')\delta(x_2-x_2')$$

Такое. Я для скорости не стал разности писать, надеясь что Вы и так догадаетесь, и не ошибся. Для координаты свободной частицы из-за трансляционной инвариантности можно разность не писать, а для осциллятора - фигу, там обе координаты надо держать. Ответы, если поискать, известны.

[fizGSE]

amon в сообщении #1735073 писал(а):

Такое.

Хорошо тогда. Так как у свободной и правда зависимость только от разности, то можно, наверное, по ней Фурье-преобразование сделать и свести уравнение к одномерному. Попробую посмотреть, что выйдет.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1735073 писал(а):

Задача одномерная, условия рассеяния

$$\begin{cases} \Psi_f=e^{ikx}+R e^{-ikx} & \text{при x<0} \\ \Psi_f=T e^{ikx} & \text{при x>0}, \end{cases}$$

Не-а. Так было бы при упругом рассеянии.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1735076 писал(а):

Не-а. Так было бы при упругом рассеянии.

А почему? Вроде, только $|T|^2+|R|^2\ne 1$? Я, честно говоря, "толчки" (теорию рассеяния) основательно подзабыл. Для неупругого рассеяния, вроде, обычно пишут уравнения на матричные элементы t-матрицы, которое по виду совпадает с предложенным. Стандартно в 3+1-мерии пишут $+i0.$ Сохраняется ли это в одномерии я как-то сходу не соображу.

[fizGSE]

Итак.
Вот уравнение на функцию Грина, которое мы собрались решать:

$$ \left(E + \frac{\hbar^2}{2m_1} \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\hbar^2}{2m_2} \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} - \frac{1}{2} m_2 \omega^2 x_2^2 \pm i0\right) G(x_1, x_1', x_2, x_2') = \delta(x_1 - x_1') \delta(x_2 - x_2') $$

Как я и говорил, произвожу преобразование Фурье по разности $x_1-x_1'$:

$$ \left(E - \frac{\hbar^2 k^2}{2m_1} + \frac{\hbar^2}{2m_2} \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} - \frac{1}{2} m_2 \omega^2 x_2^2 \pm i0\right) \tilde{G}(k, x_2, x_2') = \delta(x_2 - x_2') $$

Дальше, получается, находить решения однородного уравнения (функции параболического цилиндра, если я не ошибаюсь) и сшивать их, что выглядит не очень перспективным делом (возможно, ошибаюсь). Или все же находить этот оператор в базисе собственных состояний гармонического осциллятора (этот путь, как мне кажется, приведет к уравнению, похожему на мое самое первое).

[amon]

fizGSE в сообщении #1735086 писал(а):

Дальше, получается, находить решения однородного уравнения (функции параболического цилиндра, если я не ошибаюсь)

Функции Эрмита. Да, не выходит каменный цветок. Задачка, похожая на эту, есть в книжке Сунакава "Квантовая теория рассеяния", глава 4 параграф 6, но там до конца тоже не дорЁшено.

[fizGSE]

Сейчас, наверное, объясню, как действовал я.
Допустим, наш гамильтониан без учёта взаимодействия:

$$ \hat{H} = \hat{H}_{free} \otimes \hat{\mathbf{1}}_{bound} + \hat{\mathbf{1}}_{free} \otimes \hat{H}_{bound} $$

$$ \hat{H}_{pit} \vert n \rangle = \varepsilon_n \vert n \rangle $$

Тогда уравнение на оператор Грина можно вот так спроецировать

$$ \langle x; n \vert \left( E +i 0- \hat{H}_{free} - \hat{H}_{bound} \right) \hat{G} \vert x'; n' \rangle = \langle x; n \vert \hat{\mathbf{1}} \vert x'; n' \rangle $$

И получить такое уравнение

$$ \left( E +i 0+ \frac{\hbar^2}{2m}\nabla_x^2 - \varepsilon_n \right) G_{nn'}(x, x') = \delta(x - x') \delta_{nn'} $$

Далее проводим Фурье-преобразование, уравнение становится алгебраическим

$$ \left( E+i 0 - \frac{\hbar^2 k^2}{2m} - \varepsilon_n \right) G_{nn'}(k) = \delta_{nn'} $$

Выразим отсюда функцию Грина и введем волновые векторы различных каналов

$$ k_n = \sqrt{\frac{2m(E - \varepsilon_n)}{\hbar^2}} $$

$$ G_{nn'}(k) = \frac{2m}{\hbar^2} \frac{\delta_{nn'}}{k_n^2 - k^2 + i0} $$

Сделав обратное преобразование, получим

$$ G_{nn'}(x, x') = -i \frac{m}{\hbar^2 k_n} e^{i k_n |x - x'|} \delta_{nn'} $$

Уравнение Липпмана-Швингера в проекции на выбранный нами базис:

$$ \langle x; n\vert\Psi\rangle = \langle x; n\vert\Phi\rangle + \sum_{m} \int dx' \, \langle x; n\vert\hat{G}\vert x'; m\rangle \langle x'; m\vert\hat{V}\vert\Psi\rangle $$

$$ \Psi_n(x) = \Phi_n(x) + \sum_{m, n'} \int dx' \int dx'' \, G_{nm}(x, x') \langle x'; m\vert\hat{V}\vert x''; n'\rangle \Psi_{n'}(x'') $$

Для дельта-потенциала $V(x_1,x_2)=g\delta(x_1-x_2)$ матричный элемент такой:

$$ \langle x; n \vert \hat{V} \vert x'; n' \rangle = g \varphi_n^*(x) \varphi_{n'}(x) \delta(x - x') $$

где $ \varphi_n(x) = \langle x \vert n \rangle $
После подстановки в уравнение Липпмана-Швингера выше функции Грина и этого матричного элемента, получится такое уравнение:

$$ \Psi_n(x) = \Phi_n(x) - \frac{i m g}{\hbar^2 k_n} \sum_{n'} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i k_n |x - x'|} \varphi_n^*(x') \varphi_{n'}(x') \Psi_{n'}(x') \, dx' $$

А там уже можно подставлять, в общем-то, любые функции $\varphi_n(x)$: хоть для гармонического осциллятора, хоть для чего-то ещё. Яма мне показалась заманчивой тем, что интеграл тогда получается в конечных пределах. Другой вопрос, что даже так я все ещё не знаю, какой способ удобнее для качественного анализа: или ряд последовательных приближений, или что-то более хитрое.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1735084 писал(а):

А почему?

Потому, что энергия рассеянной частицы отличается от энергии падающей. Соответственно, и $k$ тоже.

-- добавлено через 1 минуту --

amon в сообщении #1735084 писал(а):

обычно пишут уравнения на матричные элементы t-матрицы,

Да. Только эта матрица определена отнюдь не на одночастичном пространстве.