Одномерное неупругое рассеяние

[fizGSE]

Я пробую решить задачу об одномерном рассеянии свободной частицы на мишени, которая находится в бесконечно глубокой потенциальной яме. Потенциал взаимодействия между пулей и мишенью - дельта-функция с коэффициентом $g$. В ходе решения задачи пришел к такому уравнению Липпмана-Швингера:

$$\psi_{m}(x) = e^{ik_{1}x}\delta_{m,1} - \frac{i m_1 g}{\hbar^{2}k_{m}} \int_{0}^{L} e^{ik_{m}|x-x^{\prime}|} \varphi_{m}(x^{\prime}) \sum_{n=1}^{\infty} \varphi_{n}(x^{\prime})\psi_{n}(x^{\prime}) \, dx^{\prime}$$ $$\varphi_{m}(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{\pi m x}{L}\right)$$ $$k_{m} = \frac{\sqrt{2m_1(E - E_{m})}}{\hbar}$$

Думаю, как бы поэффективнее решить его, пусть даже и в некотором приближении. Возможно, стоит попробовать Борновское приближение или какую-нибудь вариацию метода Галёркина? Или полезнее будет считать численно, квадратурным методом?

[warlock66613]

То есть это задача о прохождении частицы через дельта-образную яму? Это же элементарная учебная задача, она решается практически так же как и для конечной прямоугольной ямы, через сшивку плоских волн. Или я что-то не так понял?

[fizGSE]

Нет, не она. Тут две частицы, а общий потенциал такой:

$$U(x_1,x_2)=g \delta(x_1-x_2)+V(x_2)$$

.
Здесь $V(x_2)$ - бесконечно глубокая потенциальная яма. То есть вторая частица болтается в яме (в основном состоянии до рассеяния), а первая частица, налетая из бесконечности и взаимодействуя со второй через дельта-потенциал, может ее возбуждать.

[amon]

fizGSE в сообщении #1735002 писал(а):

$U(x_1​,x_2​)=g\delta(x_1​−x_2​)+V(x_2​)$

У меня такое впечатление, что исходная задача некорректно поставлена. Яма с бесконечными стенками это не потенциал. В классической механике это связь. В квантовой механике пространство функций определено только на отрезке внутри ямы, и продолжить волновые функции нулем вне ямы не получится - возникнут бяки с оператором импульса.

[fizGSE]

amon в сообщении #1735010 писал(а):

исходная задача некорректно поставлена.

Разве? Почему? Под бесконечной потенциальной ямой я имею ввиду только то, что область движения второй частицы (которая мишень) ограничена некоторым отрезком. Первая (пуля) при этом может свободно кататься по всей оси. То есть в конфигурационном пространстве у нас разрешено движение в бесконечной полосе, не ограниченной вдоль $x_1$. Интуитивно у меня это противоречий не вызывает. А они есть?

[amon]

fizGSE в сообщении #1735016 писал(а):

Почему?

Попробуйте написать уравнение Шредингера для Вашей системы. Что будет твориться вблизи границы ямы? Вне ямы? Вообще, яма с бесконечными стенками в квантовой механике - плохой объект.

[fizGSE]

Ну, при $x_2=0$, $x_2=L$ волновая функция равна нулю. Но разве это что-то ломает? Уравнению же итоговому вообще не особо важно, в каком там потенциале лежит мишень. Да, в бесконечной яме есть проблемы с собственными состояниями импульса, но здесь-то они при чем? Можно потенциал, в котором лежит вторая частица, вообще заменить на гармонический осциллятор какой-нибудь, но от этого уравнение слабо поменяется. Синусы $\varphi_m(x)$ станут собственными функциями гармонического осциллятора, да и все. Ну ещё интегрирование от минус до плюс бесконечности будет.

[SergeyGubanov]

fizGSE, а что у Вас обозначает индекс $n$ у $\psi_{n}(x)$?

[fizGSE]

Да, извиняюсь. Надо было сразу прояснить.

$$\psi_n(x) = \langle x, n \vert \psi \rangle$$

Здесь $\vert \psi \rangle$ - вектор стационарного состояния всей задачи, $\vert n \rangle$ - вектор n$-го стационарного состояния бесконечно глубокой потенциальной ямы.

[amon]

fizGSE в сообщении #1735021 писал(а):

Можно потенциал, в котором лежит вторая частица, вообще заменить на гармонический осциллятор какой-нибудь, но от этого уравнение слабо поменяется.

Вот и замените. IMHO, сразу полегчает. Ваш потенциал взаимодействия $V=\delta(x_1-x_2)$ при преобразовании Фурье перейдет в $\delta(k_1+k_2),$ и останется найти функцию Грина (ядро оператора $\frac{1}{E-\hat{H}_0-i0}$), а она, вроде, считается. Тогда интегральное уравнение Липпмана — Швингера

$$f(k_1,k_2,E)=\phi+\frac{Vf}{E-\hat{H}_0-i0}$$

в Фурье-представлении окажется алгебраическим, и Вы получите точное решение в Фурье-представлении. А как считать функцию Грина для бесконечной прямоугольной ямы я лично не знаю.

[fizGSE]

Ага. То есть, как я понял, Вы предлагаете проецировать уравнение Липпмана — Швингера не на $\langle x_1, n |$, как я делал, а на $\langle k_1, k_2 |$ (и заменить потенциал на гладкий)?
Хорошо, спасибо, попробую!

[amon]

fizGSE в сообщении #1735029 писал(а):

Вы предлагаете проецировать уравнение Липпмана — Швингера не на $\langle x_1, n |$, как я делал, а на $\langle k_1, k_2 |$ (и заменить потенциал на гладкий)?

Не совсем так. Я предлагаю не мучиться с разложением ядра оператора $\frac{1}{E-\hat{H}_0-i0}$ по собственным функциям $H,$ а сосчитать его в лоб. Для этого надо решить уравнение

$$\hat{H}_0G(x_1,x_2)-E G(x_1,x_2)=\delta(x_1)\delta(x_2),$$

где $\hat{H}_0$ -- Ваш гамильтониан без взаимодействия. В нем нет членов, перепутывающих две частицы, переменные делятся и ответ, вроде, должен быть произведением функции Грина свободной частицы и осциллятора. И то, и другое известно, и дальше Вы подставляете это в Липпмана-Швингера, интегрирование снимается $\delta$-функцией во взаимодействии и золотой ключик у Вас в кармане.

[fizGSE]

Немного запутался. В последнем сообщении Вы, кажется, предлагаете искать функцию Грина (то есть оператор $\frac{1}{E-\hat{H}_0-i 0}$ в координатном представлении). Соответственно, и Липпмана-Швингера решать в нем же? Но в предыдущем сообщении Вы говорили об уравнении Липпмана-Швингера в Фурье-представлении.

[amon]

fizGSE в сообщении #1735045 писал(а):

В последнем сообщении Вы, кажется, предлагаете искать функцию Грина (то есть оператор $\frac{1}{E-\hat{H}_0-i 0}$ в координатном представлении). Соответственно, и Липпмана-Швингера решать в нем же? Но в предыдущем сообщении Вы говорили об уравнении Липпмана-Швингера в Фурье-представлении.

Я выкладки не делал, но для осциллятора, как мне кажется, и так, и так примерно одинаково по трудозатратам получается. Посмотрите что проще.

-- добавлено через 11 минут --

Вроде, в Фурье-представлении должна отвалиться функция Грина свободной частицы, поскольку интеграл в $x$-представлении сведется к свертке, которая в Фурье будет произведением, что по-проще. Но это не точно.

[SergeyGubanov]

(Оффтоп)

fizGSE, это одна из задач современного теорминимума Ландау по квантовой механике, верно?