Элементарная алгебра для отстающих

[Dedekind]

horda2501
$a^{m+n} = a^ma^n$

[Mihr]

horda2501 в сообщении #1734784 писал(а):

То есть, предлагается найти логарифм 9 по основанию 2

Не предлагается. Предлагается использовать определение логарифма. Или (что в данном контексте то же самое) использовать основное логарифмическое тождество.

[horda2501]

Поясните, пожалуйста. Логарифм - это число-показатель степени $x$, в которое нужно возвести основание $a$ для получения числа $b$. Здесь $a=2$, $b=9$. Каково $x$, если для его нахождения необходимо найти из $9$ некий показатель степени с основанием $2$? Пока ничего для решения подобных задач, кроме сведения их к показательным уравнениям, не предлагалось в учебнике. (Что такое "основное логарифмическое тождество" пока мне не известно).

[Booker48]

Сорри, не понял вопрос. Записывается так:

$x=\log_{2}9$

$x=\log_{2}9$

[Dedekind]

horda2501
Сначала вот это

Dedekind in post #1734785 писал(а):

$a^{m+n}=a^ma^n$

, потом определение логарифма, как сказал Mihr.

[horda2501]

$2^3\cdot2^{\log_{2}9}$. А что делать дальше? Ведь всё равно сводится задача к $2^x=9$, как это представляю себе я на данный момент.

[Dedekind]

horda2501
Что такое логарифм? Скажите словами.

-- added 7 minutes later --

horda2501 in post #1734795 писал(а):

Логарифм - это число-показатель степени $x$, в которое нужно возвести основание $a$ для получения числа $b$.

А, вот сказали. Итак, $\log_2^​9$ - это показатель степени, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 9. У Вас тут

horda2501 in post #1734804 писал(а):

$2^3\cdot2^{\log_{2}9}$

2 возводится в этот самый показатель степени. Что должно получится?

[horda2501]

horda2501 in post #1734795 писал(а):

Логарифм - это число-показатель степени $x$, в которое нужно возвести основание $a$ для получения числа $b$.

Итак, $\log_2^​9$ - это показатель степени, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 9. У Вас тут

horda2501 in post #1734804 писал(а):

$2^3\cdot2^{\log_{2}9}$

2 возводится в этот самый показатель степени. Что должно получится?[/quote]

Я ничего не поняла. Возможно, будет лучше без наводящих вопросов, так как у меня слишком маленький объём теории и размышлений над ней на данный момент. А вот если я взгляну на запись решения, то до меня сразу дойдёт идея, лежащая в основе.

[Mihr]

horda2501 в сообщении #1734883 писал(а):

Я ничего не поняла.

Запись $\log_ab=c$ по определению логарифма означает $a^c=b$. Подставим сюда вместо $c$ его значение, а именно $\log_ab$. Получим

$$a^{\log_ab}=b$$

Это равенство называют основным логарифмическим тождеством. Попробуйте его использовать.
Вот несколько примеров: $5^{\log_57}=7$, $2^{\log_23}=3$, $9^{\log_96}=6$ и т.д.

[Dedekind]

horda2501 in post #1734883 писал(а):

так как у меня слишком маленький объём теории

Да нормальный у Вас объем, все что нужно по теории (определение логарифма) Вы уже сказали. Теперь нужно немного подумать просто.

-- added 45 seconds later --

*нужно было бы, если бы Mihr уже не подумал за Вас:)

[horda2501]

Спасибо! В учебнике есть подобные объяснения, разберу внимательнее завтра. Однако, там это не названо "основное", поэтому как-то мимо прошло в духе $\log_{a}1=0$.

Правила не всегда приводят к лучшему и наиболее быстрому результату

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1734889 писал(а):

как-то мимо прошло в духе $\log_{a}1=0$.

Поэтому $a^{\log_{a}1}= a^0 = 1$
Это верно не только для единицы, но и для любого числа под знаком логарифма.
$a^{\log_{a}2}= 2$
$a^{\log_{a}3}= 3$
и.т.д...
Это позволяет находить число в степени с логарифмом, не вычисляя логарифм, который действительно может быть не целым , и даже не рациональным, и не иррациональным, а, страшно сказать, трансцендентным, но после возведения в такую страшную степень получается целое число. Это очень удобно...

[Mihr]

Лукомор в сообщении #1734908 писал(а):

и не иррациональным, а, страшно сказать, трансцендентным

Не надо ещё более запутывать ребёнка.
Любое вещественное трансцендентное число иррационально.

[wrest]

horda2501
Хотя вы и отказываетесь пользоваться калькулятором, но оставлю это тут, чем чёрт не шутит.

Если у вас есть калькулятор и в нём есть функция логарифма, но вы не знаете по какому основанию он вычисляется или не можете указать основание, то можно воспользоваться тем, что
$\log _a x=\dfrac{\log _b x}{\log _b a}$
Таким образом, вычисляете на калькуляторе логарифм 9. Например, калькулятор делает это по основанию 10 (но вы этого не знаете)
$\lg 9 \approx 0,954$
$\lg 2 \approx 0,301$
$\dfrac{\lg 9}{\lg 2}=\log _2 9 \approx \dfrac{0,954}{0,301} \approx 3,169$
Ну и дальше на калькуляторе вычисляете $2^{3,169} \approx 8,994$
Вот эта девятка к вам вернулась :)

Тот же самый подход, если калькулятор вычисляет натуральный логарифм:
$\ln 9 \approx 2,197$
$\ln 2 \approx 0,693$
$\dfrac{\ln 9}{\ln 2}=\log _2 9 \approx \dfrac{2,197}{0,693} \approx 3,170$
Ну и дальше на калькуляторе вычисляете $2^{3,170} \approx 9,000$
Вот эта девятка опять к вам вернулась.