доказательство предела по поределению

[Kupcov96]

Всем привет. Правильно ли я понимаю, что можно так решить предел?
$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$.

Я действовал так: рассмотрим $x_n = x_{n-1} \cdot \frac{a}{n}$.
Из того, что $\lim_{n \to \infty} \frac{a}{n} = 0$, следует, что $\exists N: \forall n > N \implies \frac{a}{n} < 1$.
$x_n$ ограничена сверху каким-то элементом последовательности, то есть $x_n \leqslant M = \max\{x_1, x_2, \dots, x_N\}$.

Из того, что $\lim_{n \to \infty} \frac{a}{n} = 0$, следует, что
$\frac{a}{n} < \frac{\varepsilon}{M}$, отсюда $x_n \leqslant M \cdot \frac{a}{n} < \varepsilon$.

[mihaild]

Kupcov96 в сообщении #1734039 писал(а):

$x_n$ ограничена сверху каким-то элементом последовательности

Вот это надо чуть подробнее обосновать.

Kupcov96 в сообщении #1734039 писал(а):

Из того, что $\lim_{n \to \infty} \frac{a}{n} = 0$, следует, что $\frac{a}{n} < \frac{\varepsilon}{M}$,

Тут квантора по $n$ не хватает.

[Anton_Peplov]

"На пальцах" я бы рассуждал так. Числитель на каждом шаге увеличивается в $a$ раз. Знаменатель на $n$-ом шаге увеличивается в $n$ раз. Как только $n$ превысит $a$, знаменатель начнет расти быстрее числителя, а значит, дробь будет стремиться к нулю.

[Kupcov96]

Я действовал так: рассмотрим $x_n = x_{n-1} \cdot \frac{a}{n}$.
Из того, что $\lim_{n \to \infty} \frac{a}{n} = 0$, следует, что $\exists N: \frac{a}{N} < 1$,
то есть $x_n$ ограничена сверху каким-то элементом последовательности, то есть $x_n \leqslant M = \max\{x_1, x_2, \dots, x_N\}$.
Из того, что $\lim_{n \to \infty} \frac{a}{n} = 0$, следует, что $\forall$ n > N $\frac{a}{n} < \frac{\varepsilon}{M}$, отсюда $x_n \leqslant M \cdot \frac{a}{n} < \varepsilon$.
Так?

Anton_Peplov в сообщении #1734046 писал(а):

"На пальцах" я бы рассуждал так. Числитель на каждом шаге увеличивается в $a$ раз. Знаменатель на $n$-ом шаге увеличивается в $n$ раз. Как только $n$ превысит $a$, знаменатель начнет расти быстрее числителя, а значит, дробь будет стремиться к нулю.

а как не на пальцах?

[EUgeneUS]

Kupcov96 в сообщении #1734048 писал(а):

Из того, что $\lim_{n \to \infty} \frac{a}{n} = 0$, следует, что $\exists N: \frac{a}{N} < 1$,

Это же можно проще.
Из неограниченности $\mathbb{N}$ следует $\exists N: N >a$, тогда $a/N < 1$
Зачем на какой-то предел ссылаться, который непонятно откуда взяли

Kupcov96 в сообщении #1734048 писал(а):

Из того, что $\lim_{n \to \infty} \frac{a}{n} = 0$, следует, что $\forall$ n > N $\frac{a}{n} < \frac{\varepsilon}{M}$, отсюда $x_n \leqslant M \cdot \frac{a}{n} < \varepsilon$.

Совершенно не понятно, что такое $\varepsilon$ и откуда он взялся.

[Mental]

Kupcov96 в сообщении #1734039 писал(а):

Всем привет. Правильно ли я понимаю, что можно так решить предел?

Можно так как вы написали решать (с учетом замечаний), а можно применить признак Д’Аламбера: найти предел отношения последующего члена к предыдущем. Если $D = 0$, то по признаку Д’Аламбера ряд сходится. Согласно необходимому условию сходимости числового ряда, предел его общего члена обязан быть равен нулю.

[Someone]

Kupcov96, как я понял, от Вас требуют доказать, используя определение предела, что

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0$$

(предполагается, что $n$ — натуральное число).
Сформулируйте, пожалуйста, это определение. Конкретно для этого предела, а не в общем виде. Иначе не о чем разговаривать.