Попытки выйти на RH

[Anton_Peplov]

Одних только эквивалентных формулировок гипотезы Римана набралось два тома:

Broughan, K. 2017, Equivalents of the Riemann hypothesis. Volume 1: Arithmetic equivalents., Cambridge University Press, Cambridge. doi:10.1017/9781108178228

Broughan, K. 2017, Equivalents of the Riemann hypothesis. Volume 2: Analytic equivalents., Cambridge University Press, Cambridge. doi:10.1017/9781108178266

Что, безусловно, говорит о ее "произвольности", "тривиальности" и "бессодержательности".

[Andrei_Tiumentsev]

пианист в сообщении #1733949 писал(а):

Боюсь, перестал понимать, о чем Вы вообще говорите.
В любом случае, Вы вполне можете считать, что гипотеза Римана не является содержательной проблемой. Уверен, никто не будет предъявлять Вам претензии по этому поводу.

Меня претензии не очень волнуют. Я хочу разобраться в проблеме. По-моему это честно. Вот ещё пример: Допустим есть функция, и у неё есть нули. Часть нулей лежит на одной прямой, часть - на другой. Наше заявление: "рассмотрим все нули". Это одно множество. Но если мы доказываем утверждение "все нули обладают свойством x", нам важно, что множество однородно, - что все его элементы получены одним способом. Разве нет? Если элементы получены разными способами, но мы объединили их в одно множество, утверждение "все обладают свойством x" относится к разным типам. Оно может быть верным для одних и неверным для других. Это не философия и не умствование - это вопрос, что именно мы доказываем. Короче, в формулировке RH множество нетривиальных нулей -однородно или это объединение разных типов? Если однородно - назовите, что делает его однородным. Если нет - то утверждение "все нетривиальные нули на критической линии" требует проверки для каждого типа отдельно. Так, что делает тривиальные нули однородными? Просто определением не обойдёшься.

[Anton_Peplov]

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1733985 писал(а):

Но если мы доказываем утверждение "все нули обладают свойством x", нам важно, что множество однородно, - что все его элементы получены одним способом. Разве нет?

Нет. Нули они и есть нули. Никаких "способов их получения" не нужно. "Способ получения", " однородное множество " - это не математический термин, а какая-то Ваша фантазия.

[mihaild]

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1733985 писал(а):

Но если мы доказываем утверждение "все нули обладают свойством x", нам важно, что множество однородно, - что все его элементы получены одним способом. Разве нет?

Нет. Никаких "однородности" и "способа получения" с формальной точки зрения нет - соответственно, они не важны.

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1733985 писал(а):

Если элементы получены разными способами, но мы объединили их в одно множество, утверждение "все обладают свойством x" относится к разным типам.

Опять же нет. В классической логике у утверждений вообще нет "типов".

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1733985 писал(а):

Оно может быть верным для одних и неверным для других

Не может. Потому что утверждение с квантором всеобщности уже не имеет параметров, про него нельзя говорить, что оно верно "для чего-то" (хотя часто и говорят, но подразумевают при этом верность утверждения, в котором квантор еще не добавили).

(Бред, я перепутал терминологию)

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1733985 писал(а):

Короче, в формулировке RH множество нетривиальных нулей -однородно или это объединение разных типов?

В формулировке гипотезы Римана множество нетривиальных нулей - это множество нулей функции Римана с вещественной частью из множества $(0, 1) \setminus \{1/2\}$. Понятия "однородного множества" нет.

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1733985 писал(а):

Так, что делает тривиальные нули однородными? Просто определением не обойдёшься.

Обойдешься. Нуль тривиален, если его вещественная часть равна $1/2$. Это просто определение. Можно переформулировать гипотезу Римана в виде "красными нулями называются нули с вещественной частью $1/2$, а веселыми - с вещественной частью из $(0, 1)$; верно ли, что все веселые нули красные?".
Общепринятого определения "однородных нулей" нет, поэтому прежде чем о них что-то спрашивать, автор вопроса (т.е. Вы) должен дать определение.

[ex-math]

mihaild
Тривиальными нулями называются нули, лежащие на вещественной оси. Они известны точно - это отрицательные четные целые числа. Тривиальными они называются потому, что получаются из полюсов гамма-функции в функциональном уравнении дзета-функции. Все прочие нули, называемые нетривиальными, лежат в критической полосе, то есть имеют вещественную часть между 0 и 1. Гипотеза состоит в том, что все они лежат на критической прямой, то есть имеют вещественную часть 1/2.

[mihaild]

ex-math
Спасибо, я сам тоже забыл определения, как оказалось, посыпаю голову пеплом.

[Andrei_Tiumentsev]

mihaild в сообщении #1733992 писал(а):

ex-math
Спасибо, я сам тоже забыл определения, как оказалось, посыпаю голову пеплом.

Согласен. Утверждение "для всех x из M: P(x)" - одно, без параметров. Оно либо истинно, либо ложно. Не спорю.
Но доказательство такого утверждения требует аргумента, работающего для всех x без исключения. Если M структурно неоднородно, стандартный ход - разбор случаев: для x типа A - так, для x типа B - так. Это не параметризация утверждения. Это метод доказательства.
Пример: M — множество всех простых. Утверждение: "для любого простого x, если x не равно 2, то x нечётно". Доказательство: разбор случаев. Случай x = 2 - отдельно. Случай x > 2 - нечётность. Утверждение одно, без параметров. Разбор — в доказательстве.
Мой вопрос был об этом. Не о том, параметризовано ли утверждение. О том, нужен ли разбор случаев при доказательстве утверждения "для всех x из M: P(x)", если M содержит элементы разного происхождения. Если M однородно — разбор не нужен. Если неоднородно - нужен, иначе доказательство неполно. Тривиальные нули вы отделяете именно так - по происхождению, из полюсов гамма-функции. Значит, различение по происхождению вами уже используется.
Я просто спрашиваю: нетривиальные нули однородны по происхождению? Если да - назовите, что делает их однородными. Если нет - разбор необходим. Можно сказать: ноль он и в Африке ноль, но не вдохновляет.

[mihaild]

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1734083 писал(а):

Если M структурно неоднородно

Термин "множество структурно неоднородно" не определен, соответственно дальше читать нельзя.

[Andrei_Tiumentsev]

mihaild в сообщении #1734084 писал(а):

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1734083 писал(а):

Если M структурно неоднородно

Термин "множество структурно неоднородно" не определен, соответственно дальше читать нельзя.

Согласен, термин не был определён. Определяю.
Пусть M — множество, и P — свойство, определённое на элементах M.
M называется структурно неоднородным относительно P, если существует разбиение M = M_1 \cup M_2 на непустые, непересекающиеся подмножества, такое что:
1. доказательство P(x) для x \in M_1 и доказательство P(x) для x \in M_2 существенно различны — не сводятся друг к другу без использования принадлежности x к M_i;
2. не существует единого аргумента, доказывающего P(x) сразу для всех x \in M, без разбора случаев.
Если такого разбиения нет — M структурно однородно относительно P.
Пример, который вы сами используете.
M — множество всех нулей \zeta(s). P(x) — «x лежит на критической прямой».
Разбиение: M_1 — тривиальные нули, M_2 — нетривиальные.
Для M_1: P(x) ложно — они на вещественной оси, \operatorname{Re} x = -2, -4, \ldots
Для M_2: P(x) — гипотеза.
Доказательства различны. Единого аргумента нет. Значит, M структурно неоднородно относительно P.
Это не философия. Это стандартная ситуация разбора случаев. Вы сами её применяете, когда отделяете тривиальные нули от нетривиальных.
Мой вопрос был только об этом: однородно ли M_2 — множество нетривиальных нулей — относительно P? Если да — назовите, что делает его однородным. Если нет — разбор случаев внутри M_2 тоже необходим.

[пианист]

Andrei_Tiumentsev
То есть Вас интересует, как будет выстроено доказательство (или опровержение) гипотезы Римана, с разбором разных случаев или без (когда и если оно будет)?

[mihaild]

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1734091 писал(а):

доказательство P(x) для x \in M_1 и доказательство P(x) для x \in M_2 существенно различны

Термин "доказательства существенно различны" не определен.
Плюс доказательств одного и того же утверждения может быть много.
Плюс если мы работаем с континуальными множествами, то часто $P(x)$ нельзя даже записать для большинства элементов.

И еще - зачем Вы набираете [math] руками? Это не нужно, формулы нужно окружать долларами (чего Вы как раз не делаете, в результате чего они отображаются странно), а теги подставятся автоматически.

[Andrei_Tiumentsev]

пианист в сообщении #1734092 писал(а):

Andrei_Tiumentsev
То есть Вас интересует, как будет выстроено доказательство (или опровержение) гипотезы Римана, с разбором разных случаев или без (когда и если оно будет)?

Здравствуйте. Конечно интересует, и интерес не праздный.

-- добавлено через 40 минут --

mihaild в сообщении #1734093 писал(а):

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1734091 писал(а):

доказательство P(x) для x \in M_1 и доказательство P(x) для x \in M_2 существенно различны

Термин "доказательства существенно различны" не определен.
Плюс доказательств одного и того же утверждения может быть много.
Плюс если мы работаем с континуальными множествами, то часто $P(x)$ нельзя даже записать для большинства элементов.

Пусть $P$ — свойство, определённое на элементах множества $M$. Пусть $M = M_1 ∪ M_2$ - разбиение на непустые непересекающиеся подмножества.
Термин "доказательства существенно различны" не определён - согласен, определяю.
Доказательства $D_1: ∀x∈M_1 : P(x) и D_2: ∀x∈M_2 : P(x)$ называются сводимыми друг к другу, если существует доказательство $D: ∀x∈M : P(x)$, которое после подстановки условий принадлежности $x∈M_1 или x∈M_2$ даёт соответственно $D_1 и D_2$ как частные случаи. Если такого $D$ не существует - доказательства несводимы (существенно различны). Иначе: разбор случаев внутри $D$ не нужен, если $D$ уже покрывает оба подмножества единым аргументом. Если не покрывает - разбор необходим, и доказательства несводимы. По второму вопросу, да доказательств одного утверждения может быть много. Всё верно, но это не отменяет термина. Термин про несводимость, а не про количество. Много доказательств, но ни одно не покрывает оба подмножества единым аргументом — это именно наш случай. Третье ваше возражение для континуальных множеств P(x) нельзя записать.
Вообщем да, но к нашему случаю это не относится. Множество нулей ζ(s) счётное. $P(x)$ — «лежит на критической прямой» - определено для каждого элемента без исключения. Запись формулы и определённость свойства - разные вещи. И последнее... жалко времени на изучение форматирования.

[mihaild]

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1734105 писал(а):

Доказательства $D_1: ∀x∈M_1 : P(x) и D_2: ∀x∈M_2 : P(x)$ называются сводимыми друг к другу, если существует доказательство $D: ∀x∈M : P(x)$, которое после подстановки условий принадлежности $x∈M_1 или x∈M_2$ даёт соответственно $D_1 и D_2$ как частные случаи.

Термин "доказательство даёт как частные случаи" не определен.
И надо как-то более четко проговорить, что куда как подставляется.

[пианист]

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1734105 писал(а):

Конечно интересует

Почему "конечно", не понял, но Вам придется подождать, когда это доказательство (или опровержение) появится. Кто ж сейчас скажет, какое оно будет.

[Andrei_Tiumentsev]

mihaild в сообщении #1734108 писал(а):

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1734105 писал(а):

Доказательства $D_1: ∀x∈M_1 : P(x) и D_2: ∀x∈M_2 : P(x)$ называются сводимыми друг к другу, если существует доказательство $D: ∀x∈M : P(x)$, которое после подстановки условий принадлежности $x∈M_1 или x∈M_2$ даёт соответственно $D_1 и D_2$ как частные случаи.

Термин "доказательство даёт как частные случаи" не определен.
И надо как-то более четко проговорить, что куда как подставляется.

Термин "доказательство даёт как частные случаи" не определён - согласен, определяю.
Пусть $D\colon \forall x\in M\ P(x)$ — доказательство. Пусть $M = M_1 \cup M_2$ — разбиение.
Подстановка принадлежности — это операция, которая из $D$
получает доказательство $D_i\colon \forall x\in M_i\ P(x)$
следующим образом:
- квантор $\forall x\in M$ заменяется на $\forall x\in M_i$; - каждый шаг вывода, где используется условие $x\in M$, заменяется на использование условия $x\in M_i$.
Если после этой замены вывод остаётся корректным для всех $x\in M_i$ - говорим, что $D$ даёт $D_i$ как частный случай.
Если такой операции не существует ни для какого $D$ - доказательства $D_1$ и $D_2$ несводимы.
Это стандартное определение: сужение области квантора с сохранением структуры вывода.
Мой вопрос остаётся тем же: существует ли для $M_2$ - множества нетривиальных нулей - единое $D$, дающее доказательство для всех элементов $M_2$ без разбора случаев? Если да - назовите его структуру. Если нет- разбор необходим. И, собственно, понятно почему на каждый ответ предлагается сделать формальное обоснование. Это позиционирование проблемы её обоснование затягивает, конечно, но никаким образом не определяет.

-- добавлено через 2 минуты --

пианист в сообщении #1734117 писал(а):

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1734105 писал(а):

Конечно интересует

Почему "конечно", не понял, но Вам придется подождать, когда это доказательство (или опровержение) появится. Кто ж сейчас скажет, какое оно будет.

Да, зачем бы я эту тему "светил". Мне моё время дорого.