Простые числа вида 4^k-k=p

[nimepe]

Можно ли найти простые числа вида $ 4^k-k=p$ , кроме при $ k=3,k=5$

[Gagarin1968]

Можно.
Например, при $k=1$.
Простенькая программка выдала ещё $k=35$. Проверил, действительно, 1.180.591.620.717.411.303.389 — простое.

-- добавлено через 36 минут --

Ну вот ещё программка нашла $k=95$ и $k=1323$.
Первое проверил, второе — нет.

[Gagarin1968]

nimepe в сообщении #1732078 писал(а):

Можно ли найти простые числа вида $ 4^k-k$?

И, кстати, последовательность сия присутствует в OEIS за нумером A057908

[nimepe]

Если усложнить -пусть $k$ тоже простое.

-- добавлено через 25 минут --

Gagarin1968 в сообщении #1732080 писал(а):

Например, при $k=1$.
Простенькая программка выдала ещё $k=35$. Проверил, действительно, 1.180.591.620.717.411.303.389 — простое.

-- добавлено через 36 минут --

Ну вот ещё программка нашла $k=95$ и $k=1323$.
Первое проверил, второе — нет.

$Gagarin 1968$, вам спасибо за вычисления.

[Someone]

Gagarin1968 в сообщении #1732080 писал(а):

Ну вот ещё программка нашла $k=95$ и $k=1323$.
Первое проверил, второе — нет.

Второе тоже проверил с помощью Primo 3.0.9 — простое (2 минуты 48 секунд).
С помощью PrimeForm/GW (pfgw64) нашёл следующее: $4^{24747}-24747$. Но с ним Primo 3.0.9 не справится. Нужно брать современную версию, а она только для линукса.

Gagarin1968 в сообщении #1732089 писал(а):

И, кстати, последовательность сия присутствует в OEIS за нумером A057908

А какие члены там ещё есть?

[Gagarin1968]

Someone в сообщении #1732165 писал(а):

А какие члены там ещё есть?

Someone
Только эти семь членов и есть (вместе с найденным Вами): $1, 3, 5, 35, 95, 1323, 24747$.

[Mental]

Someone в сообщении #1732165 писал(а):

Но с ним Primo 3.0.9 не справится.

Здесь его нет:
https://t5k.org/primes/search.php

-- добавлено через 5 минут --

Gagarin1968 в сообщении #1732284 писал(а):

24747

А вы уверены что это простое число?

-- добавлено через 59 секунд --



-- добавлено через 17 минут --

Далее Codex (ChatGPT 5.5. "Высокий"):

Ещё одна полезная отсечка: если $k ≡ 1 (mod 3)$, то $4^k- k$ делится на $3$.

Для простых $k$ первые значения такие:

$k = 3: p = 4^3 - 3 = 64 - 3 = 61$, простое.
$k = 5: p = 4^5 - 5 = 1024 - 5 = 1019$, простое.

Я проверил простые $k$ до $2000$: среди них простыми $p = 4^k - k$ оказались только $61 $ и $1019$. Полный бесконечный список без заданной границы корректно назвать нельзя.

[Someone]

Mental в сообщении #1732285 писал(а):

А вы уверены что это простое число?

Не это, а $4^{24747}-24747$.

Gagarin1968 в сообщении #1732284 писал(а):

Только эти семь членов и есть (вместе с найденным Вами): $1, 3, 5, 35, 95, 1323, 24747$.

Спасибо.

[Mental]

Someone в сообщении #1732286 писал(а):

Не это

nimepe в сообщении #1732101 писал(а):

Если усложнить -пусть $k$ тоже простое.

ТС потом уточнял.

[Someone]

Mental в сообщении #1732287 писал(а):

ТС потом уточнял.

Я видел, что он "уточнил". Видимо, он опасается, что сейчас ему насыплют полный мешок таких чисел, а у меня программа PrimeForm/GW добралась уже до показателя $121455$ и ничего больше не нашла. До $200000$ пусть считает, и на этом закончу.
А выбрать простые показатели — не проблема. Среди уже найденных семи простые только $3$ и $5$; следующие два делятся на $5$, а последние два — на $3$.

[waxtep]

Someone в сообщении #1732288 писал(а):

До $200000$ пусть считает, и на этом закончу.

В OEIS пишут, a(8) > 2*10^5. - Robert Price, Feb 11 2014

[nimepe]

Всем спасибо за вычисления.

[Someone]

waxtep в сообщении #1732291 писал(а):

В OEIS пишут, a(8) > 2*10^5. - Robert Price, Feb 11 2014

Спасибо. Тогда останавливаю. После $200000$ nimepe пускай сам считает.

[Gagarin1968]

Someone, waxtep
Интересно, почему в OEIS первые 6 членов выделены болдом, а седьмой ($24747$) — нет.
Не прошёл проверки?

[Dmitriy40]

Gagarin1968 в сообщении #1732305 писал(а):

Интересно, почему в OEIS первые 6 членов выделены болдом, а седьмой ($24747$) — нет.
Не прошёл проверки?

Потому что у Вас ссылка кривая, не на саму последовательность, а на результат поиска её части - вот искомая часть и выделена болдом.
Правильная ссылка: A057908
Сравните поведение форума при наведении мышки на ссылку у Вас и эту.