Диофантово уравнение: x^3+y^2=z^3, все решения?

[Inspektor]

Подскажите пожалуйста, как решить Диофантово уравнение $x^3+y^2=z^3$. Частные решения находятся легко, а вот найти формулы для генерации всех возможных решений не получается.

[juna]

Найти все сложно. Но найти бесконечную серию легко.
Например, $x_0=0,y_0=1,z=x_n+1$
$x_n=7x_{n-1}+4y_{n-1}+3$
$y_n=12x_{n-1}+7y_{n-1}+6$
Общее решение можно искать так: положим $z=x+t$, тогда имеем $y^2=t(3x^2+3xt+t^2)$. Из последнего или $t=3$ (дает конечное множество решений), или $x=at$. Из второго имеем $y^2=t^3(3a^2+3a+1)$, значит $3a^2+3a+1=tb^2$. Беря различные $t$, разрешаем последнее.

[Inspektor]

Нужны именно все, частные случаи не интересуют, т.к. формулы можно на основе любой подходящей тройки генерировать.
К такому уравнению я тоже пришёл, но это не сильно помогло. Вы предлагаете найти решения при t={1,2,3..} и попытаться найти закономерность?

[juna]

Так или иначе все решения задаются уравнением $3a^2+3a+1=tb^2$ . Но сказать для каких именно $t$ обеспечивается решение я не берусь.

Добавлено спустя 26 минут 55 секунд:

Inspektor в сообщении #173220 писал(а):

Вы предлагаете найти решения при t={1,2,3..} и попытаться найти закономерность?

Перебрал все $t$ в пределах сотни, решения получаются только для $1, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 49, 61, 67, 73, 79, 91, 97$.
При этом, что интересно, только два из них составные - 49, 91, которые оба делятся на 7.

[Inspektor]

Цитата:

Из последнего или $t=3$ (дает конечное множество решений), или $x=at$.

А как вы такой вывод сделали? По-моему оттуда ясно, что $t$ делит $y$ и надо делать замену $y\to at$.

[shwedka]

juna в сообщении #173217 писал(а):

$x_n=7x_{n-1}+4y_{n-1}+3$
$y_n=12x_{n-1}+7y_{n-1}+6$

Я в детстве читала в книжке Серпинского 'О решении уравнений в целых числах', что если есть такие рекуррентные формулы,
то по ним следует идти вниз, переходя от $n$ к $n-1$, пока не придем к самому маленькому, в некотором смысле, решению. У кого под рукой книжечка есть, поглядите.
Посмотрите еще в КВАНТе
Курляндчик Л., Розенблюм Г., (N1,1978)Метод бесконечного спуска.

[juna]

Если квадрат числа делится на $t$ , то квадрат этого числа делится и на $t^2$, если $t$ - само не квадрат числа и свободно от квадратов.

Добавлено спустя 2 минуты 49 секунд:

shwedka в сообщении #173224 писал(а):

Я в детстве читала в книжке Серпинского 'О решении уравнений в целых числах', что если есть такие рекуррентные формулы,
то по ним следует идти вниз, переходя от $n$ к $n-1$, пока не придем к самому маленькому, в некотором смысле, решению. У кого под рукой книжечка есть, поглядите.

Что-то я не понял, к чему Вы это. Можно конечно и нерекурентные формулы легко получить, но человека интересуют все решения.

[shwedka]

Смысл в том, что спускаясь, приходим к минимальному решению, которое уже единственно. Это означает, что рекурренты дают все возможные решения.

[Inspektor]

Цитата:

Если квадрат числа делится на $t$ , то квадрат этого числа делится и на $t^2$, если $t$ - само не квадрат числа и свободно от квадратов.

Это понятно, но откуда взялось $t=3$ и второй случай совершенно не доходит .

[juna]

Из того, что $y^2$ делится на $t^2$ следует, что $3x^2+3xt+t^2$ делится на $t$, значит $3x^2$ делится на $t$, значит $t=3$ или $x$ делится на $t$. Но здесь я кстати потерял еще возможность, когда $t$ не свободно от квадратов.
И еще потерял: правильнее не $t=3$, а $t=3a, x=ak$, в частном случае $a=1$.

Добавлено спустя 28 минут 51 секунду:

shwedka писал(а):

Смысл в том, что спускаясь, приходим к минимальному решению, которое уже единственно. Это означает, что рекурренты дают все возможные решения.

Вы ошибаетесь, минимальное решение будет для каждого $t$ свое, например, для $t=7$
имеем:
$x_0=1,y_0=1$
$x_{n+1}=55x_n+84y_n+27$
$y_{n+1}=36x_n+55y_n+18$

[shwedka]

juna в сообщении #173230 писал(а):

минимальное решение будет для каждого $t$ свое, например, для $t=7$
имеем:
$x_0=1,y_0=1$
$x_{n+1}=55x_n+84y_n+27$
$y_{n+1}=36x_n+55y_n+18$

Увлекательно!!

[ИСН]

Здесь в самом низу чуть-чуть про это:
http://mathworld.wolfram.com/Diophantin ... owers.html
(начиная с ф-лы 109)

[juna]

У Диксона я тоже хотел посмотреть, но руки не дошли.
Да только это ведь тоже не все решения, а подобные параметрические решения и из того, что здесь написано нагенерировать можно.

[Батороев]

juna писал(а):

Перебрал все $t$ в пределах сотни, решения получаются только для $1, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 49, 61, 67, 73, 79, 91, 97$.
При этом, что интересно, только два из них составные - 49, 91, которые оба делятся на 7.

А отчего $t=4$ пропущено?
$ 6^3 + 28^2 = (6+4)^3 $.

[juna]

Я уже писал, что для квадратов и несвободных от квадратов здесь будет дыра.