Логики 0, 1 и 2 порядков.

[Vladimir Pliassov]

1.

Я все больше убеждаюсь в том, что в логике 0, 1 и 2 порядков невозможно провести простое рассуждение:

"из ложности конъюнкции $A\wedge \neg B$ следует импликация $A\to B$", --

и даже еще более простое: "из ложности конъюнкции $A\wedge \neg B$ следует, что из истинности $A$ следует истинность $B$", --

или хотя бы сказать: "конъюнкция $A\wedge \neg B$ ложна".

Потому что в этих логиках

все высказывания о ложности высказываний заменяются на отрицания этих высказываний и все высказывания об истинности высказываний заменяются на сами эти высказывания, чтобы избежать семантики.

Например, вместо того, чтобы выводить импликацию $A\to B$ из ложности конъюнкции $A\wedge \neg B$, то есть из того, что $v(A\wedge \neg B)=\bot$, ее выводят из отрицания конъюнкции $A\wedge \neg B$, то есть из дизъюнкции $\neg A\vee B$

epros в сообщении #1729902 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1729886 писал(а):

Здесь $T$ -- это унарный (одноместный) предикат истинности. Запись $T(X)$ читается как «Формула $X$ истинна»

В синтаксисе исчисления предикатов в аргументе предиката должна стоять предметная переменная, а не формула.

Ну вот, видите? Невозможно написать: $\neg T(A\wedge \neg B)$ ("конъюнкция $A\wedge \neg B$ ложна").

Но, как я узнал, выход есть. К этим логикам можно добавить гёделево кодирование или куайновское закавычивание $\ulcorner \urcorner$ (звучит смешно).

2.

Да, в аргументе предиката не может стоять формула, там должен стоять терм.

Термы (Предметные имена)

Терм — это то, что обозначает объект. Он отвечает на вопрос «Что это?», но не может быть истинным или ложным.

1) Любая предметная переменная ($x$) — это терм.

2) Любая предметная константа ($c$) — это терм.

3) Если $t_1, \dots, t_n$ — термы, а $f^{n}$ — функциональный символ, то $f^n(t_1, \dots, t_n)$ — это терм.

4) Ничто другое термом не является.

(Предметные переменные: $x, y, z, x_1, x_2, \dots$. Они обозначают только элементы предметной области — числа, людей, точки, но никогда не формулы.)

Терм может обладать свойством, если его поместить в аргумент предиката (это, наверное, устоявшееся выражение).

Предикатные символы: $P^n, Q^n, R^n, \dots$ (где $n \ge 1$ — местность предиката). Это свойства или отношения. Пример: $Even(x)$ — одноместный предикат, $LessThan(x, y)$ — двухместный предикат.

3.

Интересно, что бывает (вырожденный) нульместный предикат, и он дает дорогу всем формулам логики нулевого порядка (то есть всем пропозиционным переменным $A, B, C, \dots$) в логику первого порядка. Правда, не только он.

Нульместный предикат — это предикат, который вообще не принимает предметных переменных (аргументов).

Мы можем просто назвать такие нульместные предикаты буквами $A$ и $B$ (которых нет среди предметных переменных логики 1 порядка). Поскольку им не нужны термы, конструкции $A$ и $B$ сами по себе становятся полноценными атомарными формулами 1-го порядка.

И вот тогда мы получаем синтаксическое право написать $(A \wedge \neg B)$.

Но, как сказано, формулы логики нулевого порядка попадают в логику первого порядка и другим путем.

Логики часто используют $A$ и $B$ как сокращения для формул 1-го порядка.

Например:

Пусть $A$ — это формула $P(x)$ (свойство «быть четным»).

Пусть $B$ — это формула $Q(x)$ (свойство «делиться на 4»).

Тогда и конъюнкция $(A \wedge \neg B)$ является строгой формулой 1-го порядка, наряду с формулой $(P(x) \wedge \neg Q(x))$.

4.

А можно и так посмотреть.

Пусть в логике 0 порядка мы обозначили пропозициональные переменные буквами $A, B$, где

$A=$"сахар сладкий", $B=$"$2\times 2=5$".

Тогда при переходе к логике 1 порядка мы расшифровываем эти черные ящики:

$A\sim U(x)\sim x\in U$, где $x=$"сахар", $U=$"множество сладких вещей"

$B\sim V(y)\sim y\in V$, где $y=$"$2\times 2$", $V=$"множество произведений, равных $5$".

Но формулы логики 1 порядка $U(x)$ и $V(y)$ можно зашифровать назад в черные ящики, заявив:

Пусть $A$ — это формула $U(x)$ ("сахар имеет свойство быть сладким"). Пусть $B$ — это формула $V(y)$ ("произведение $2\times 2$ имеет свойство быть равным $5$").

Тогда и конъюнкция $(A \wedge \neg B)$ является строгой формулой 1-го порядка.

5.

Таким образом, вся логика 0 порядка находится в логике 1 порядка, включая все свои формулы: как формулы простых высказываний, например, $A, B$ (которые в логике 1 порядка являются нульместными предикатами), так и формулы составных высказываний, например, $A\wedge \neg B$.

6.

Обо всем этом необходимо было сказать, чтобы двигаться дальше.

Итак, куайновское закавычивание $\ulcorner \urcorner$.

Идея в том, что можно закавычить любую формулу, превратив ее таким образом в терм, и потом легально брать ее, закавыченную, в качестве аргумента предиката, например, предиката истинности $T$.

Закавычим формулы $A$, $B$, $A\wedge \neg B$, получим такую запись: $\ulcorner A\urcorner$, $\ulcorner B\urcorner$, $\ulcorner A\wedge \neg B\urcorner$,

поместим их аргументами при предикате истинности:

$T(\ulcorner A\urcorner)$, $T(\ulcorner B\urcorner)$, $\neg T(\ulcorner A\wedge \neg B\urcorner)$

и составим легальную формулу

$$\neg T(\ulcorner A\wedge \neg B\urcorner)\to \Big (T(\ulcorner A\urcorner)\to T(\ulcorner B\urcorner)\Big )\eqno (7)$$

"из ложности конъюнкции $A\wedge \neg B$ следует, что из истинности $A$ следует истинность $B$".


Все это я не сам придумал, а нашел в интернете, как говорится, за что купил, за то и продаю.

mihaild в сообщении #1729904 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1729886 писал(а):

я вывожу импликацию $A\to B$

Для начала нужно четко сказать, что вообще считается известным про импликацию.

Об импликации $A\to B$ мне, во всяком случае, известно, что она принадлежит предметному языку одной из логик 0, 1 или 2 порядка. Но о том, как ее вывести из формулы $\neg T(\ulcorner A\wedge \neg B\urcorner)$, это отдельный разговор.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1729978 писал(а):

все высказывания о ложности высказываний заменяются на отрицания этих высказываний и все высказывания об истинности высказываний заменяются на сами эти высказывания , чтобы избежать семантики.

Да отрицание и есть утверждение о ложности. А утвердительная форма высказывания и есть утверждение об истинности. Это так не потому что кто-то хочет "избежать семантики", а потому что нет нужды городить многоэтажную бессмыслицу.

Семантика - это всего лишь подход к анализу предложений языка, когда мы с помощью теории множеств строим т.н. "интерпретацию" языка. А синтаксис - это другой подход к анализу предложений языка, когда мы рассматриваем их только с точки зрения грамматики и правил вывода, не пытаясь построить интерпретацию.

Vladimir Pliassov в сообщении #1729978 писал(а):

Например, вместо того, чтобы выводить импликацию $A\to B$ из ложности конъюнкции $A\wedge \neg B$, то есть из того, что $v(A\wedge \neg B)=\bot$, ее выводят из отрицания конъюнкции $A\wedge \neg B$, то есть из дизъюнкции $\neg A\vee B$

По мне, так импликацию не нужно выводить из ложности чего-то там, особенно какой-то конъюнкции, ибо импликация - более фундаментальная вещь, чем конъюнкция и чем отрицание. Во всяком случае, существуют импликативные логики, в которых ни конъюнкция, ни отрицание не определены, и они довольно разумны.

Vladimir Pliassov в сообщении #1729978 писал(а):

Но, как я узнал, выход есть. К этим логикам можно добавить гёделево кодирование или куайновское закавычивание $\ulcorner \urcorner$ (звучит смешно).

Рановато Вам лезть в гёделевское кодирование. Оно не просто про расстановку каких-то скобочек, а про замену формул их номерами, то бишь активно привлекается аксиоматика арифметики.

Vladimir Pliassov в сообщении #1729978 писал(а):

Мы можем просто назвать такие нульместные предикаты буквами $A$ и $B$ (которых нет среди предметных переменных логики 1 порядка). Поскольку им не нужны термы, конструкции $A$ и $B$ сами по себе становятся полноценными атомарными формулами 1-го порядка.

Дело не в нульместных предикатах, а в том, что любую формулу исчисления предикатов можно подставить в формулу исчисления высказываний вместо пропозициональных переменных и получить корректную формулу исчисления предикатов. Собственно, это часть определения понятия "формула исчисления предикатов". Таким образом устанавливается связь между порядками логик: исчисление предикатов расширяет исчисление высказываний. Просто не нужно путать пропозициональные переменные исчисления высказываний с предметными переменными исчисления предикатов.

Vladimir Pliassov в сообщении #1729978 писал(а):

поместим их аргументами при предикате истинности:

Вы так легко оперируете тем, что не определили. Если хотите озадачиться и дальше, то гуглите теорему Тарского о невыразимости предиката истинности

Но вообще-то скажу, что сейчас Вы просто занимаетесь ерундой, пытаясь построить "второй этаж" над тем, что является тавтологией и на "первом этаже", во всяком случае, в классическом исчислении высказываний. Кстати, как раз и интересны логики, в которых $\neg A \lor B$ НЕ эквивалентно импликации: просто чтобы понимать, что импликация - более фундаментальная вещь, чем любые другие логические связки, так что "выводить" её из них - довольно глупое занятие.

Vladimir Pliassov в сообщении #1729978 писал(а):

Об импликации $A\to B$ мне, во всяком случае, известно, что она принадлежит предметному языку одной из логик 0, 1 или 2 порядка. Но о том, как ее вывести из формулы $\neg T(\ulcorner A\wedge \neg B\urcorner)$, это отдельный разговор.

Вам намекнули, что импликацию нужно не "выводить", а определить. По крайней мере, я именно так понимаю слова "сказать, что известно про импликацию". Как даются определения понятий?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1729978 писал(а):

Об импликации $A\to B$ мне, во всяком случае, известно, что она принадлежит предметному языку одной из логик 0, 1 или 2 порядка. Но о том, как ее вывести из формулы $\neg T(\ulcorner A\wedge \neg B\urcorner)$, это отдельный разговор

Тогда можете сразу заняться выводом формулы $A \star B$ из того же. Чтобы в итоговой формуле появился значок $\to$, должны быть какие-то правила, по которым его можно вводить. Т.е. нужно о нём уже что-то содержательное знать.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1729985 писал(а):

Да отрицание и есть утверждение о ложности.

Насколько я понимаю, в синтаксисе это не так, потому что в нем вообще нет понятия истинности/ложности. В синтаксисе высказывание "сахар сладкий" является отрицанием высказывания "сахар не сладкий", но при этом не рассматривается вопрос о том, какое из этих высказываний истинное, а какое ложное.

Когда я говорил, что для синтаксиса берутся только истинные высказывания и отрицания ложных высказываний (в семантике отрицания ложных высказываний являются истинными высказываниями), я имел в виду не то, что в синтаксисе употребляются истинные высказывания (в нем, как сказано, понятия истинности нет), я имел в виду, что для него -- так сказать в преддверии синтаксического высказывания, когда оно еще не началось -- берутся только истинные высказывания, а когда оно уже началось, эти высказывания уже не имеют истинностного статуса.

Разумеется, любое высказывание и отрицание любого высказывания годится для синтаксиса. Но когда я столкнулся с неожиданным для меня затруднением при попытке выразить простую мысль: "из ложности конъюнкции $A\wedge \neg B$ следует импликация $A\to B$", -- я увидел, что эта проблема может быть решена тем, чтобы вместо ложной конъюнкции $A\wedge \neg B$ взять истинную дизъюнкцию $\neg A\vee B$ и из этой дизъюнкции (уже без мысли о том, что она истинная) в синтаксисе вывести импликацию $A\to B$ (опять-таки без мысли о том, что она истинная или ложная).

Но, как я уже говорил, такое упрощение задачи мне не подходит. Я хочу выразить не то, что мне позволяют какие-то правила, а то, что я хочу выразить. Повторюсь и здесь: я теперь вижу, что мое первое сообщение этой темы имеет смысл и вполне понятно. Надо только найти логическую систему, в которой оно выражено.

Впрочем, найти эту систему это хотя и интересно само по себе, но не принципиально. Принципиально то, что я в этом сообщении сказал.

Что я сказал? Что, в частности, истинностный статус импликации базово может определяться не из таблицы истинности, а из того, что импликация следует или не следует из условий (например, из условий $\{A, B\}$, при этих условиях $A$ и $B$ истинны). При этом он может определяться и из таблицы истинности, но уже не базово, потому что сама таблица истинности в этом случае следует из условий. Разумеется, истинностный статус импликации будет один и тот же, как в том, так и в другом случае.

epros в сообщении #1729985 писал(а):

потому что нет нужды городить многоэтажную бессмыслицу.

Но хотя бы два этажа нужно построить: первый этаж для предметного высказывания "сахар сладкий" и второй этаж для мета-высказывания: "истинно, что сахар сладкий"?

Первый этаж, как я понимаю, синтаксический, второй -- семантический.

epros в сообщении #1729985 писал(а):

По мне, так импликацию не нужно выводить из ложности чего-то там, особенно какой-то конъюнкции, ибо импликация - более фундаментальная вещь, чем конъюнкция и чем отрицание. Во всяком случае, существуют импликативные логики, в которых ни конъюнкция, ни отрицание не определены, и они довольно разумны.

Но ведь можно найти (или создать) системы, в которых импликация будет не основным, а производным понятием?

epros в сообщении #1729985 писал(а):

Рановато Вам лезть в гёделевское кодирование. Оно не просто про расстановку каких-то скобочек, а про замену формул их номерами, то бишь активно привлекается аксиоматика арифметики.

Мне кажется, пора, потому что жизнь проходит. Сейчас как раз этим занимаюсь.

epros в сообщении #1729985 писал(а):

Дело не в нульместных предикатах, а в том, что любую формулу исчисления предикатов можно подставить в формулу исчисления высказываний вместо пропозициональных переменных и получить корректную формулу исчисления предикатов.

Но ведь нульместный предикат можно обозначить буквой из алфавита логики 0 порядка, и тогда его не отличить от высказываний этой логики?

epros в сообщении #1729985 писал(а):

Вы так легко оперируете тем, что не определили. Если хотите озадачиться и дальше, то гуглите теорему Тарского о невыразимости предиката истинности

Но вообще-то скажу, что сейчас Вы просто занимаетесь ерундой, пытаясь построить "второй этаж" над тем, что является тавтологией и на "первом этаже", во всяком случае, в классическом исчислении высказываний. Кстати, как раз и интересны логики, в которых $\neg A \lor B$ НЕ эквивалентно импликации:

Об этом буду думать.

epros в сообщении #1729985 писал(а):

просто чтобы понимать, что импликация - более фундаментальная вещь, чем любые другие логические связки, так что "выводить" её из них - довольно глупое занятие.

Неужели не может быть систем, в которых это не так?

epros в сообщении #1729985 писал(а):

Вам намекнули, что импликацию нужно не "выводить", а определить. По крайней мере, я именно так понимаю слова "сказать, что известно про импликацию".

Вот в том-то и дело, что я пытаюсь сделать наоборот: не определять ее, а выводить.

mihaild в сообщении #1730160 писал(а):

Как даются определения понятий?

Цитата:

В математической логике понятия вводятся с помощью явных и неявных определений через базовые (первичные) объекты теории. (Цитата из интернета)

У меня таблица истинности не является базовым объектом теории.

mihaild в сообщении #1730160 писал(а):

Чтобы в итоговой формуле появился значок $\to$, должны быть какие-то правила, по которым его можно вводить. Т.е. нужно о нём уже что-то содержательное знать.

По-моему, высказывание "из ложности конъюнкции $A\wedge \neg B$ следует, что из истинности $A$ следует истинность $B$" является содержательным. И между высказываниями "истинно $A$" и "истинно $B$" можно поставить стрелочку $\to$.

А уже от семантической импликации $v(A)=\top\to v(B)=\top$ к синтаксической импликации $A\to B$ можно перейти цепочкой рассуждений с привлечением правил подъема (рефлексии) и спуска (дерефлексии):

Пусть нам дано, что $v(A)=\top\to v(B)=\top$. Возьмем гипотезу $A$. По правилу подъема выведем из нее формулу $v(A)=\top$. Возьмем ее в качестве посылки для modus ponens относительно формулы $v(A)=\top\to v(B)=\top$, получим формулу $v(B)=\top$, по правилу спуска выведем из нее формулу $B$. Таким образом, по транзитивности выводим $B$ из $A$, то есть импликацию $A\to B$, и по аналогии с теоремой о дедукции из импликации метаязыка $v(A)=\top\to v(B)=\top$ выводим импликацию предметного языка $A\to B$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1730175 писал(а):

И между высказываниями "истинно $A$" и "истинно $B$" можно поставить стрелочку $\to$

А почему $\to$, а не $\star$ и не $\clubsuit$? Тоже красивые символы. Если хочется чего-то, не обладающего вертикальной осью симметрии, то $\rotatebox[origin=c]{45}{\star}$ и $\rotatebox[origin=c]{315}{\clubsuit}$.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1730175 писал(а):

Насколько я понимаю, в синтаксисе это не так, потому что в нем вообще нет понятия истинности/ложности. В синтаксисе высказывание "сахар сладкий" является отрицанием высказывания "сахар не сладкий", но при этом не рассматривается вопрос о том, какое из этих высказываний истинное, а какое ложное.

"В синтаксисе" понятия истинности и ложности не используются за ненадобностью. Потому что там есть понятия принятого за аксиому и выводимого из аксиоматики. Но если вспомнить буквари, то аксиома - это и есть "принятое за истину".

Vladimir Pliassov в сообщении #1730175 писал(а):

Но хотя бы два этажа нужно построить: первый этаж для предметного высказывания "сахар сладкий" и второй этаж для мета-высказывания: "истинно, что сахар сладкий"?

Первый этаж, как я понимаю, синтаксический, второй -- семантический.

У Вас какие-то странные представления о синтаксисе и семантике. Ещё раз:

epros в сообщении #1729985 писал(а):

Семантика - это всего лишь подход к анализу предложений языка, когда мы с помощью теории множеств строим т.н. "интерпретацию" языка. А синтаксис - это другой подход к анализу предложений языка, когда мы рассматриваем их только с точки зрения грамматики и правил вывода, не пытаясь построить интерпретацию.

Когда предложение языка (например, "сахар сладкий") и так утверждается (например, в качестве аксиомы), то мы уже приняли его за истину, так что надстраивать к нему какой-то "предикат истинности" и на основании этого считать, что в утверждении "истинно, что сахар сладкий" появился какой-то новый смысл, это очень странное занятие.

Vladimir Pliassov в сообщении #1730175 писал(а):

Но ведь можно найти (или создать) системы, в которых импликация будет не основным, а производным понятием?

"Системы" могут быть какими угодно. Вопрос в том, какие из них заслуживают называться "логикой". По моему скромному мнению, "система" получает право называться "логической" ровно тогда, когда в её языке появляется понятие "логического следствия". Не конъюнкции или дизъюнкции, и даже не отрицания, а следствия.

Vladimir Pliassov в сообщении #1730175 писал(а):

Мне кажется, пора, потому что жизнь проходит. Сейчас как раз этим занимаюсь.

И это повод не заниматься ерундой, потому что эдак она пройдёт зря.

Vladimir Pliassov в сообщении #1730175 писал(а):

Вот в том-то и дело, что я пытаюсь сделать наоборот: не определять ее, а выводить.

Выводить из чего?

Vladimir Pliassov в сообщении #1730175 писал(а):

Цитата:

В математической логике понятия вводятся с помощью явных и неявных определений через базовые (первичные) объекты теории. (Цитата из интернета)

У меня таблица истинности не является базовым объектом теории.

Не знаю, откуда Вы вытащили эту цитату, но эти философствования про "базовые (первичные) объекты теории" не имеют никакого отношения к тому, как на самом деле вводятся определения в математической логике. Кстати, ничего "неявного" в ней не бывает. И я не понимаю, откуда Вы взяли, что я предлагаю Вам какую-то "таблицу истинности".

Vladimir Pliassov в сообщении #1730175 писал(а):

можно перейти цепочкой рассуждений с привлечением правил подъема (рефлексии) и спуска (дерефлексии)

Это очень смешно, вот просто очень. Если у Вас есть некие "правила", которые позволяют Вам свободно переходить с первого этажа на второй и наоборот, то зачем Вам вообще этот второй этаж?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1730180 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1730175 писал(а):

И между высказываниями "истинно $A$" и "истинно $B$" можно поставить стрелочку $\to$

А почему $\to$, а не $\star$ и не $\clubsuit$? Тоже красивые символы. Если хочется чего-то, не обладающего вертикальной осью симметрии, то $\rotatebox[origin=c]{45}{\star}$ и $\rotatebox[origin=c]{315}{\clubsuit}$.

Благодарю за критику!

Я посоветовался с товарищами, и они объяснили мне что не так с моим предыдущим постом. Вот новый вариант.

1) Из содержательного анализа ложности конъюнкции $A \wedge \neg B$ мы устанавливаем факт семантического следования: $A \vDash B$ (всегда, когда истинно $A$, истинно и $B$).

2) На основании Теоремы Гёделя о полноте (для исчисления высказываний/предикатов), устанавливающей мост между семантикой и синтаксисом, из семантического следования $A \vDash B$ мы сразу получаем синтаксическую выводимость: $A \vdash B$.

3) Наконец, применяя Теорему о дедукции, из метаутверждения о выводимости $A \vdash B$ мы гарантированно заключаем, что в предметном языке выводима итоговая формула с импликацией: $\vdash A \to B$.

Должен сказать, что с теоремой Гёделя о полноте я пока не знаком, но надеюсь познакомиться с ней после теоремы о неполноте, которой сейчас занимаюсь.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1730203 писал(а):

Из содержательного анализа ложности конъюнкции $A \wedge \neg B$ мы устанавливаем факт семантического следования: $A \vDash B$

Это какая-то мешанина. Какой-то "содержательный анализ", какой-то "факт", смесь $\vDash$ и "семантики".
Правильно, например, так: $A \wedge \neg B, A \vDash B$. Проверяется таки по таблице истинности, потому что $\vDash$ определяется через неё.

Vladimir Pliassov в сообщении #1730203 писал(а):

На основании Теоремы Гёделя о полноте

К моменту её доказательства вся тривиальщина вроде таблицы истинности импликации должна быть давно известна.

Vladimir Pliassov в сообщении #1730203 писал(а):

но надеюсь познакомиться с ней после теоремы о неполноте, которой сейчас занимаюсь

Неправильный порядок. Теорема о неполноте, конечно, гораздо более известна и выглядит интереснее, но чтобы с ней разобраться, нужно достаточно хорошо овладеть основами исчисления предикатов, включая теорему о полноте.

И да, ответа на главную проблему нет. Прежде чем что-то доказывать про импликацию, нужно сказать, что про неё известно. Иначе всё, что получится доказать для $\to$, будет автоматически доказано и для $\clubsuit$ - а для последнего, очевидно, доказать можно не очень много всего интересного.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1730209 писал(а):

Правильно, например, так: $A \wedge \neg B, A \vDash B$. Проверяется таки по таблице истинности, потому что $\vDash$ определяется через неё.

Вы, очевидно, забыли поставить знак $\neg$ перед $(A \wedge \neg B)$.

Хотели написать $\neg (A \wedge \neg B), A \vDash B$?

Это, как я понимаю, читается: "из истинности отрицания конъюнкции $(A \wedge \neg B)$ (то есть "из истинности дизъюнкции $\neg A \vee B$) и истинности $A$ (семантически) следует истинность $B$",

но мне нужно в символах написать: "из ложности конъюнкции $(A \wedge \neg B)$ и истинности $A$ (семантически) следует истинность $B$".

Если по правилам какой-то логики это невозможно, то, по-моему, надо искать (или изобретать) другую логику, в которой это возможно, чтобы можно было выражать мысли на человеческом языке.

[manul91]

Vladimir Pliassov
Очень странно - как вы надеетесь вообще что-нибудь понять из Геделя - если вам непонятны элементарные, простейшие вещи из элементарной логики???

[Vladimir Pliassov]

manul91 в сообщении #1730252 писал(а):

Vladimir Pliassov
Очень странно - как вы надеетесь вообще что-нибудь понять из Геделя - если вам непонятны элементарные, простейшие вещи из элементарной логики???

Мне, конечно, непонятны многие, в том числе и элементарные, вещи из логики, но можете ли Вы сказать, как в символах написать: "из ложности конъюнкции $(A \wedge \neg B)$ и истинности $A$ следует истинность $B$"?

А с тем, что это так, Вы ведь не станете спорить?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1730251 писал(а):

но мне нужно в символах написать: "из ложности конъюнкции $(A \wedge \neg B)$ и истинности $A$ (семантически) следует истинность $B$".

Это невозможно. Так же как и "из истинности". $\to$ ставится между формулами, в которых никакой "ложности/истинности" нет.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1730275 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1730251 писал(а):

но мне нужно в символах написать: "из ложности конъюнкции $(A \wedge \neg B)$ и истинности $A$ (семантически) следует истинность $B$".

Это невозможно.

Это я и хотел услышать. Значит, чтобы это написать, нужна другая логика.

mihaild в сообщении #1730275 писал(а):

$\to$ ставится между формулами, в которых никакой "ложности/истинности" нет.

Значит, нужна другая стрелочка. Но суть та же -- следование.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1730278 писал(а):

Значит, чтобы это написать, нужна другая логика

Нет, значит это не нужно писать.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1730251 писал(а):

по-моему, надо искать (или изобретать) другую логику, в которой это возможно, чтобы можно было выражать мысли на человеческом языке.

Какую логику Вы собираетесь искать, если Вы в принципе не поняли что такое логика и зачем она нужна, а те странные вопросы, которыми Вы озабочены, к логике не имеют никакого отношения?

Вообще, откуда Вы взяли, что рассуждение про истинность или ложность что-то добавляет к самому утверждению или отрицанию? И кстати, если Вы положили в качестве аксиомы (в начале стартового поста), что любое высказывание либо истинно, либо ложно, то уже это явный признак того, что направление Вашего интереса - не логика, а булева алгебра.

Так вот, в булевой алгебре тоже не нужно изощряться в многоэтажных конструкциях. В ней импликация эквивалентна $\neg A \lor B$, а если Вам нужна интерпретация на примере подмножеств некоего множества, то импликация интерпретируется отношением "является подмножеством".

-- добавлено через 10 минут --

Кстати, нужно заметить, что в системе с двумя логическими значениями (которая, судя по всему, Ваш символ веры) никакая логическая связка не может точно выражать смысл понятия "выводится". Классическая импликация - в том числе.