Логики 0, 1 и 2 порядков.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1729658 писал(а):

Можем ли мы (по Генцену) сделать такой вывод:

$$\frac{\Gamma, P\vdash Q}{\Gamma \vdash P\rightarrow Q} \eqno (1)$$

Ведь для синтаксиса не важно, что значат буквы?

Для синтаксиса важно, что значат буквы. В частности, в алфавите формальной теории роль каждого символа указывается.

Кроме того, у Вас перепутаны в кучу теория и метатеория: $P\rightarrow Q$ — формула теории, а $\Gamma \vdash P\rightarrow Q$ — формула метатеории. Такая путаница — прямой путь к противоречиям.

[epros]

Someone в сообщении #1729714 писал(а):

Кроме того, у Вас перепутаны в кучу теория и метатеория: $P\rightarrow Q$ — формула теории, а $\Gamma \vdash P\rightarrow Q$ — формула метатеории. Такая путаница — прямой путь к противоречиям

Само-то это выражение (1) не более, чем теорема дедукции, то бишь, мета-метатеорема, ибо она утверждает выводимость одного метатеоретического утверждения (что под чертой) из другого метатеоретического утверждения (что над чертой).

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1729540 писал(а):

А я предлагаю такое определение: те высказывания, при подстановке которых в антецедент и консеквент классической импликации получается истинная импликация, назовём "семантически следующими" друг из друга, а все прочие - "семантически не следующими" друг из друга.

А как Вы узнаете, что импликация истинная? По таблице истинности? А я пытаюсь обосновать истинность импликации тем, что она следует из условий.

tolstopuz в сообщении #1729511 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1729508 писал(а):

высказывания, которые семантически следуют из условий

Что это вообще означает?

Я нашел такое Определение:

Цитата:

Семантическое следование — это логическое отношение между утверждениями, при котором истинность одного утверждения гарантирует истинность другого.

epros в сообщении #1729697 писал(а):

Что это за логика, в которой помимо обычных высказываний $A$ и $B$ есть ещё "оценочные"? По-моему, это масло масляное, говорить вместо "солнце село" что-нибудь вроде: "то, что солнце село, истина".

До позавчерашнего дня мне тоже казалось, что "солнце село" и "то, что солнце село, истина" это одно и то же, я думал, что высказывание $v(A)=\top\to v(B)=\top$ ("из истинности $A$ следует истинность $B$") это то же самое, что высказывание $A\to B$ (из $A$ следует $B$). Но оказалось, что это не так.

Разделение на формулы предметного языка и оценочные высказывания метаязыка — это, как я читал, фундаментальное требование теоремы Тарского о невыразимости истины.

Цитата:

Если мы откажемся от «оценочных» высказываний на метауровне и попытаемся засунуть предикат истинности v(A)=\top$ внутрь того же предметного языка, где живут обычные A и B, наша логическая система мгновенно взорвется парадоксом Лжеца («Данное высказывание ложно»).

Однако между предметным языком и метаязыком нет непроходимой пропасти, между высказыванием $A$ предметного языка и оценочным высказыванием $v(A)=\top$ метаязыка существует мостик в виде двух правил:

Правило спуска (Дерефлексия):

$$\frac{\vdash A}{A}$$

Читается: «Если на метаязыке утверждено, что $A$ имеет место, мы имеем право спуститься на нижний уровень и оперировать просто формулой $A$».

Правило подъема (Рефлексия):

$$\frac{A}{\vdash A}$$

Читается: «Если у нас на нижнем уровне есть формула $A$, мы имеем право подняться на метаязык и поставить перед ней знак утверждения».

Здесь, как я понимаю, в качестве "знака утверждения" может стоять знак $\top$, то есть вместо $\frac{\vdash A}{A}$ и $\frac{A}{\vdash A}$ можно писать $\frac{v(A)=\top}{A}$ и $\frac{A}{v(A)=\top}$.

Цитата:

Альфред Тарский (в своей знаменитой работе 1933 года о понятии истины в формализованных языках) доказал, что для любого корректного языка переход от «Высказывание $A$ истинно» к самому высказыванию $A$ синтаксически тождественен.

Уиллард Ван Орман Куайн (великий логик США). Он назвал этот процесс «децитацией» (disquotation) или «снятием кавычек». Он говорил: сказать «"Снег бел" — истинно» — это абсолютно то же самое, что просто сказать «Снег бел». Мы просто снимаем кавычки метаязыка и получаем чистую формулу предметного языка.

Но снятие кавычек здесь это операция (Дерефлексия), ее надо провести, сами собой они не снимаются.

Однако рефлексия/дерефлексия проводятся только с целыми формулами, но не с их частями, например, можно из высказывания $v(A\to B)=\top$ по правилу спуска вывести высказывание $A\to B$, но вывести по этому же правилу $A\to B$ непосредственно из $v(A)=\top\to v(B)=\top$ нельзя, тут нужна целая цепочка рассуждений.

Пусть нам дано, что $v(A)=\top\to v(B)=\top$. Возьмем гипотезу $A$. По правилу подъема выведем из нее формулу $v(A)=\top$. Возьмем ее в качестве посылки для modus ponens относительно формулы $v(A)=\top\to v(B)=\top$, получим формулу $v(B)=\top$, по правилу спуска выведем из нее формулу $B$. Таким образом, по транзитивности выводим $B$ из $A$, то есть импликацию $A\to B$, и по аналогии с теоремой о дедукции из импликации метаязыка $v(A)=\top\to v(B)=\top$ выводим импликацию предметного языка $A\to B$.

(Я пишу: "по аналогии с теоремой о дедукции", -- потому что теорема о дедукции, насколько я знаю, это теорема о синтаксическом следовании, а здесь следование смешанное, так что здесь нужна другая теорема о дедукции -- для смешанного следования, и ИИ мне ее уже сформулировал и доказал, но я еще не проверял.)

Эту цепочку мне предложил ИИ, когда я спросил его, может ли он вывести импликацию из одних только условий, не используя таблицу истинности. За что я ему чрезвычайно благодарен, так как она является ключевой в выведении импликации $A\to B$ из условий $\{A, B\}$, так что я отказываюсь от Определения. Те высказывания, которые семантически следуют из условий, назовем истинными и возвращаюсь к первоначальному определению Определения. Те высказывания, которые следуют из условий, назовем истинными.

Надо только оговорить, что под словом "следуют" здесь имеется в виду "следуют так или иначе", то есть где-то семантически, где-то синтаксически, дедуктивно, может быть, и еще как-то, надо разобраться.

И, вообще, как я вижу теперь, первоначальный текст, то есть текст первого сообщения этой темы, в основном написан правильно, хотя и не подробно. Но об этом позже.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1729736 писал(а):

Я нашел такое Определение:

Почему "нашел"? Это вы употребили термин "семантическое следование", меня интересует, какой смысл вы в него вкладывали, а не то, что вы где-то потом "нашли".

Vladimir Pliassov в сообщении #1729736 писал(а):

Семантическое следование — это логическое отношение между утверждениями, при котором истинность одного утверждения гарантирует истинность другого.

Ничего не изменилось - один непонятный термин "семантическое следование" заменился другим непонятным термином "гарантирует".

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1729736 писал(а):

А как Вы узнаете, что импликация истинная? По таблице истинности? А я пытаюсь обосновать истинность импликации тем, что она следует из условий.

По какой ещё таблице истинности? По-моему так: во что я верю сейчас (в заданном контексте), то для меня и "истинно". Если Вы пытаетесь что-то "обосновать", то это явно уже не про "истинность", а про "доказуемость".

Vladimir Pliassov в сообщении #1729736 писал(а):

До позавчерашнего дня мне тоже казалось, что "солнце село" и "то, что солнце село, истина" это одно и то же, я думал, что высказывание $v(A)=\top\to v(B)=\top$ ("из истинности $A$ следует истинность $B$") это то же самое, что высказывание $A\to B$ (из $A$ следует $B$). Но оказалось, что это не так.

Видите ли какая штука, Ваши "оценочные" высказывания вообще не могут принадлежать исчислению высказываний по чисто синтаксическим причинам: там высказывания составляются только из пропозициональных переменных и логических связок. С его точки зрения символы $v$ и $=$ - просто непонятно что означают. Я, конечно, могу предположить, что $=$ следует трактовать как $\leftrightarrow$ (равносильность), но, знаете ли, $A \leftrightarrow \top$ сразу окажется эквивалентным $A$, а $A \leftrightarrow \bot$ сразу окажется эквивалентным $A \to \bot$ или $\neg A$.

Если Вы хотите построить какую-то модальную логику, в которой над нормальными высказываниями ещё надстраивается система их "оценок", выражающих отношение говорящего, то это должно быть чем-то мотивировано.

Vladimir Pliassov в сообщении #1729736 писал(а):

Однако между предметным языком и метаязыком нет непроходимой пропасти, между высказыванием $A$ предметного языка и оценочным высказыванием $v(A)=\top$ метаязыка существует мостик в виде двух правил

По-моему, это какая-то ерунда. Метаязык для того и нужен, чтобы выражать что-то такое, что мы по каким-то причинам не можем выразить языком теории. Например, если мы хотим что-то сказать про доказуемость в теории, нам может для этого потребоваться метасимвол доказуемости $\vdash$. И утверждение о доказуемости $A$ не может быть эквивалентно самому $A$, как минимум, из-за существования истинных недоказуемых утверждений. Кстати, то, что из доказуемости $A$ должно следовать само $A$ - тоже нетривиальное следствие того, что метатеория признаёт аксиоматику предметной теории (а это может быть и не так).

Vladimir Pliassov в сообщении #1729736 писал(а):

то есть вместо $\frac{\vdash A}{A}$ и $\frac{A}{\vdash A}$ можно писать $\frac{v(A)=\top}{A}$ и $\frac{A}{v(A)=\top}$

А это-то откуда взято? Символ $\vdash$ вообще не про это - не про "оценку как истинное".

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1729755 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1729736 писал(а):

Я нашел такое Определение:

Почему "нашел"? Это вы употребили термин "семантическое следование", меня интересует, какой смысл вы в него вкладывали, а не то, что вы где-то потом "нашли".

Vladimir Pliassov в сообщении #1729736 писал(а):

Семантическое следование — это логическое отношение между утверждениями, при котором истинность одного утверждения гарантирует истинность другого.

Ничего не изменилось - один непонятный термин "семантическое следование" заменился другим непонятным термином "гарантирует".

Выкладываю все формальное описание предлагаемой логической системы. В нем много пунктов, в том числе и пункт 16. Определение семантического следования. В нем тоже есть слово "гарантирует", но мне кажется, что в контексте оно приемлемо.

Хотя пунктов и много, подозреваю, что описание все же неполное. И к тому же я не уверен, что с ним все в порядке. Надеюсь получить критические замечания.

1. Существуют так называемые высказывания, которые будем обозначать буквами $A$, $B$, $C$ ... .

2. Существуют также высказывания $A'$, $B'$, $C'$ ... .

3. При этом $A\not=A', B\not=B', C\not=C', \dots$ .

4. Между множествами $\{A, B, C \dots\}$ и $\{A', B', C' \dots\}$ установлено взаимнооднозначное соответствие:

$A\leftrightarrow A', B\leftrightarrow B', C\leftrightarrow C' \dots$ .

5. Будем называть $A'$ отрицанием $A$ и писать $\neg A=A'$. Соответственно, $A$ будем называть отрицанием $A'$ и писать $\neg A'=A$.

6. Таким образом, $\neg (\neg A)=\neg A'=A$, то есть $\neg \neg A=A$ -- двойное отрицание.

7. Если $A$ и $B$ — произвольные высказывания, то выражение $(A \wedge B)$ также является высказыванием, называемым конъюнкцией, где в знак $\wedge$ интуитивно вкладывается тот же смысл, что и в союз "и" в бытовом языке.

8. Если $A$ и $B$ — произвольные высказывания, то выражение $(A \vee B)$ также является высказыванием, называемым дизъюнкцией, где в знак $\vee$ интуитивно вкладывается тот же смысл, что и в союз "или" в бытовом языке.

9. Если $A$ и $B$ — произвольные высказывания, то выражение $(A \to B)$ также является высказыванием, называемым импликацией, где в знак $\to$ интуитивно вкладывается тот же смысл, что и в союз "если ..., то ..." в бытовом языке.

10. Если $A$ и $B$ — произвольные высказывания, то выражение $(A \Leftrightarrow B)$ также является высказыванием, называемым эквиваленцией, где в знак $\Leftrightarrow $ интуитивно вкладывается тот же смысл, что и в союз "тогда и только тогда, когда ..." в бытовом языке.

11. Понятие истинности/ложности. Существует множество истинностных значений $\{\top, \bot\}$, где $\top$ означает "истинно", а $\bot$ означает "ложно". Каждому высказыванию $A$ мы сопоставляем его значение через функцию оценки $v(A)$. При этом, если $v(A) = \top$, то $v(\neg A) = \bot$, и наоборот, если $v(A) = \bot$, то $v(\neg A) = \top$.

12. Определение n-арной логической системы. n-арной логической системой назовем фиксированное множество, состоящее из n различных атомарных (простых) высказываний, а также всех сложных высказываний, которые могут быть построены из них по определениям пунктов 7–10.

13. Определение n-арной модели. n-арной логической моделью назовем n-арную логическую систему, в которой задано основное (определяющее) условие.

14. Определение основного (определяющего) условия. Основным (определяющим) условием n-арной модели назовем требование истинности всех n высказываний, составляющих одну из всех возможных в этой системе n-арных конъюнкций. (Примечание: это условие полностью убирает неопределенность в системе, однозначно задавая конкретный фиксированный «мир» рассуждения. Другими словами, задание такого условия превращает логическую систему в конкретную $n$-арную логическую модель.).

15. Определение. Те высказывания, которые следуют из основного условия модели, назовем истинными в этой модели, а те, которые не следуют из основного условия модели, назовем ложными в этой модели.

(Примечание: под словом «следуют» здесь понимается, что высказывания следуют семантически, синтаксически, дедуктивно или иными способами, строго подчиненными законам логики).

16. Определение семантического следования Высказывание $X$ семантически следует из фиксированных полных условий $W$, если в рамках этих условий невозможно, чтобы $X$ было ложным (не выполнялось). Иными словами, семантическое следование — это отношение, которое проверяется следующим правилом:

Высказывание $X$ семантически следует из условий $W$, если:

a) либо оно содержится в этих условиях ($X \in W$),

b) либо его истинность гарантирована истинностными значениями его частей, которые мы уже вычислили относительно этих условий.

(Примечание: в условиях W могут быть заявлены не только элементарные, но и сложные высказывания — например, что конъюнкция $A\wedge \neg B$ ложна).

Как это определение работает на практике?

Для конъюнкции $(A \wedge B)$: Следует ли она из условий $\{A, B\}$? Смотрим на правило b). Части конъюнкции — это $A$ и $B$. По правилу a): они обе содержатся в условиях ($A \in W, B \in W$), значит, обе следуют из них. А по определению конъюнкции (союз «И»), если обе части следуют, то и целое следует. Всё, семантическое следование доказано, конъюнкция истинна.

Для импликации $\neg A \to \neg B$ («из лжи ложь»): Как доказать, что она семантически следует из условий $\{A, B\}$? Мы берем ложную в наших условиях конъюнкцию $(\neg A \wedge B)$ — её ложность гарантирована тем, что $\neg A$ не содержится в условиях (правило a)). Ложность этой конъюнкции означает, что ситуация, где одновременно истинны $\neg A$ и $B$, семантически невозможна при условиях $\{A, B\}$. Следовательно, если мы гипотетически допускаем $\neg A$, то $B$ выполняться не может. А если $B$ не выполняется, то обязано выполняться $\neg B$. Получается, что при условиях $\{A, B\}$ гипотеза $\neg A$ жестко и без вариантов сопряжена с результатом $\neg B$. Этот переход гарантируется условиями $\{A, B\}$. Значит, импликация семантически следует из условий.

Кстати, это еще один способ вывести -- чисто семантически -- импликацию из условий (без привлечения таблицы истинности). И этот способ тоже принадлежит ИИ.