Циклическая группа Галуа

[Dedekind]

Пусть $K$ - поле разложения $x^7 - 1$ над $\mathbb{Q}$. Перечислите все подгруппы группы Галуа $G = Gal(K:\mathbb{Q})$ вместе с их фиксированными полями (fixed field; не знаю, как по-русски будет правильно).

Пусть $\omega$ - примитивный корень 7-й степени из единицы. Тогда все элементы группы Галуа определяются $h_i = \omega^i$, $i = 1,...,6$.
Подгруппы, соответственно, $\{h_1\},\{h_1, h_2, h_4\}, \{h_1, h_6\}, G$. Возьмем, например, $\{h_1, h_6\}$. Понятно, что действие любого автоморфизма из этой подгруппы не меняет комбинацию $\omega + \omega^2 + \omega^5 + \omega^6$. Следовательно, фиксированное поле(?) должно быть $\mathbb{Q}(\omega + \omega^2 + \omega^5 + \omega^6)$.

Правильно ли это? И если да, то можно ли доказать как-то более строго?

[Gagarin1968]

Dedekind в сообщении #1729120 писал(а):

фиксированными полями (fixed field; не знаю, как по-русски будет правильно)

Всё правильно, по-русски термин fixed field переводится как неподвижное поле, или фиксированное поле.
Что касается решения, то идея, по-моему, верная по сути, только у Вас небольшая арифметическая ошибка в выбранной комбинации корней.
Ведь фиксированным полем для подгруппы $\{h_1, h_6\}$ является $\mathbb{Q}(\omega + \omega^6)$ (что эквивалентно $\mathbb{Q}\left (\cos\dfrac{2\pi}{7}\right )$), а не как у Вас $\mathbb{Q}(\omega + \omega^2 + \omega^5 + \omega^6)$.

[Dedekind]

Gagarin1968 in post #1729121 писал(а):

Ведь фиксированным полем для подгруппы $\{h_1, h_6\}$ является $\mathbb{Q}(\omega + \omega^6)$ (что эквивалентно $\mathbb{Q}\left (\cos\frac{2\pi}{7}\right )$), а не как у Вас $\mathbb{Q}(\omega + \omega^2 + \omega^5 + \omega^6)$.

Но $\omega^2 + \omega^5$ ведь тоже фиксируются $h_6$.

-- added 4 minutes later --

Вообще тогда, наверное, должно быть $\mathbb{Q}( \omega + \omega^6, \omega^2 + \omega^5)$. Но поскольку для $\mathbb{Q}$ любое расширение является простым, то это равно $\mathbb{Q}( \omega + \omega^2 + \omega^5 + \omega^6)$, так?

[Gagarin1968]

Dedekind в сообщении #1729122 писал(а):

Но $\omega^2 + \omega^5$ ведь тоже фиксируются $h_6$

Да, конечно, элемент $\omega^2 + \omega^5$ тоже фиксируется автоморфизмом $h_{6}$. Виноват, моя фраза

Gagarin1968 в сообщении #1729121 писал(а):

а не как у Вас $\mathbb{Q}(\omega + \omega^2 + \omega^5 + \omega^6)$

могла прозвучать так, будто это поле неверное или другое.
Я неточно сформулировал. На самом деле $\mathbb{Q}(\omega +\omega ^{2}+\omega ^{5}+\omega ^{6})=\mathbb{Q}(\omega +\omega ^{6})$. Это одно и то же поле. Ваш ответ математически верен, просто запись через два корня ($\omega + \omega^6$) считается стандартной, канонической и более простой. Они абсолютно идентичны, но насколько я помню, а учебниках и матлитературе предпочитают именно более короткую запись.

[Dedekind]

Gagarin1968
Пока мне на первый взгляд это не очевидно, но спасибо, подумаю как это доказать чуть позже.

[Gagarin1968]

Dedekind в сообщении #1729127 писал(а):

Пока мне на первый взгляд это не очевидно

Dedekind
Не очевидно что?

[Dedekind]

Gagarin1968

Gagarin1968 in post #1729124 писал(а):

$\mathbb{Q}(\omega +\omega ^{2}+\omega ^{5}+\omega ^{6})=\mathbb{Q}(\omega +\omega ^{6})$

[Gagarin1968]

Dedekind
Ну, смотрите, в любом круговом поле седьмой степени сумма всех корней из единицы равна нулю:

$$1+\omega +\omega ^{2}+\omega ^{3}+\omega ^{4}+\omega ^{5}+\omega ^{6}=0$$

Отсюда выразим Вашу сумму четырех корней:

$$\omega +\omega ^{2}+\omega ^{5}+\omega ^{6}=-1-(\omega ^{3}+\omega ^{4})$$

Поскольку $-1 \in \mathbb{Q}$, то добавление или вычитание единицы не меняет поле:

$$\mathbb{Q}(\omega +\omega ^{2}+\omega ^{5}+\omega ^{6})=\mathbb{Q}(-1-(\omega ^{3}+\omega ^{4}))=\mathbb{Q}(\omega ^{3}+\omega ^{4})$$

Теперь, почему же $\mathbb{Q}(\omega^3 + \omega^4) = \mathbb{Q}(\omega + \omega^6)$?
Элементы $\alpha_1 = \omega + \omega^6$ и $\alpha_2 = \omega^3 + \omega^4$ являются сопряженными корнями одного и того же неприводимого кубического многочлена $P(x) = x^3 + x^2 - 2x - 1$.
В общем случае расширения, порожденные разными корнями одного многочлена, могут быть просто изоморфными, но не совпадать. Однако наше поле $K = \mathbb{Q}(\omega)$ является расширением Галуа (оно же абелево), а значит, любое его подполе тоже является расширением Галуа над $\mathbb{Q}$. В таких расширениях, если поле содержит один корень неприводимого многочлена, оно автоматически содержит и все остальные его корни.
Мы можем выразить $\alpha _{2}$ через $\alpha _{1}$ напрямую, используя обычные операции умножения и вычитания:

$$\alpha _{1}^{2}=(\omega +\omega ^{6})^{2}=\omega ^{2}+2\omega ^{7}+\omega ^{12}=\omega ^{2}+2+\omega ^{5}=(\omega ^{2}+\omega ^{5})+2$$

А поскольку $\omega^2 + \omega^5 = -1 - (\omega + \omega^6) - (\omega^3 + \omega^4) = -1 - \alpha_1 - \alpha_2$, подставим это:

$$\alpha _{1}^{2}=(-1-\alpha _{1}-\alpha _{2})+2=1-\alpha _{1}-\alpha _{2}$$

Отсюда легко выразить $\alpha _{2}$ через $\alpha _{1}$:

$$\alpha _{2}=1-\alpha _{1}-\alpha _{1}^{2}$$

И получается, что так как $\alpha _{2}$ выражается через $\alpha _{1}$ с рациональными коэффициентами, то элемент $\alpha _{2}$ принадлежит полю $\mathbb{Q}(\alpha_1)$. И наоборот.
Выходит, что Ваш выбор элемента $\omega + \omega^2 + \omega^5 + \omega^6$ абсолютно правильный с точки зрения теории Галуа — он фиксируется подгруппой. Поле, которое он порождает, в точности совпадает с нужным промежуточным полем. А конструкцию $\mathbb{Q}(\omega + \omega^6)$ лучше использовать лишь потому, что она содержит минимально необходимое число слагаемых (только один корень и сопряженный ему) и наглядно показывает связь с тригонометрией: $\omega + \omega^{-1} = 2\cos\dfrac{2\pi}{7}$.
Впрочем, это дело вкуса.