Можно ли свести неевклидову геометрию к евклидовой?

[B3LYP]

Для меня неевклидова геометрия, точнее геометрия Лобачевского и геометрия Римана, это что-то крайне непонятное, поскольку я не знаю как её можно вообразить. Есть попытки изучать свойства таких геометрий аналогиями, например вот:

https://pikabu.ru/story/vsyo_chto_vyi_k ... it_2767863

https://pikabu.ru/story/neevklidova_geometriya_939021



Модель Пуанкаре и близкую к ней модель верхней полуплоскости понять нетрудно. Возьмём половину плоскости, расположенную выше оси X, и назовём прямыми все окружности, которых ось X делит пополам. На рисунке видно что пятый постулат не соблюдается.
У меня прежде всего такой вопрос: чем такая модель отличается от "настоящей" геометрии Лобачевского? В ней тоже выполняются все 4 первые аксиомы Евклида? Если да, то как доказать что эта модель это не "то что имел в виду Лобачевский"?
Слышал в прошлом некое рассуждение, как понять геометрию Лобачевского. Сейчас мне это кажется нелепым, но всё-таки напишу. Возьмём сферу и её внутреннее пространство. Через две точки сферы можно провести прямую, будем называть эту прямую в трехмерном пространстве "прямой" в неевклидовом двумерном пространстве. Можно увидеть, что пятый постулат не соблюдается.
Возможно эта модель с внутренним пространством сферы - какая-то ерунда; но есть ещё сферическая геометрия, с которой всё понятно - это тоже невклидова геометрия, очень похожая на Римановскую, и в ней сумма углов треугольника больше 180 градусов. Так вот на что я хочу обратить внимание: сферическая геометрия это что-то вполне понятное, что нам легко вообразить, потому что сфера - это брана трехмерного объекта, шара. А шар этот находится во вполне евклидовом трехмерном пространстве.
И вот у меня возник такой вопрос: а не может ли быть такого, что двумерное пространство Лобачевского - это двумерная брана чего-то трехмерного, что в свою очередь является трехмерной браной чего-то четырёхмерного, и уже это четырёхмерное является объектом в полностью евклидовом четырёхмерном пространстве?

[wrest]

B3LYP в сообщении #1728287 писал(а):

И вот у меня возник такой вопрос: а не может ли быть такого, что двумерное пространство Лобачевского - это двумерная брана чего-то трехмерного,

Седло же (гиперболический параболоид).

[пианист]

B3LYP в сообщении #1728287 писал(а):

есть ещё сферическая геометрия, с которой всё понятно

Лобачевский так же рассудил, и в Воображаемой Геометрии он показал, как его формулы сводятся к формулам сферической геометрии посредством использования мнимой единицы.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Беседы на околонаучные темы» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: в профильный раздел.

[Anton_Peplov]

Наводящие вопросы:
1) Что такое модель геометрии Лобачевского внутри евклидовой геометрии? Дайте определение.

2) Возможно ли построить в евклидовой геометрии модель геометрии Лобачевского, в которой отрезки по Лобачевскому будут моделироваться отрезками по Евклиду, а расстояние между точками по Лобачевскому будет равно расстоянию между точками по Евклиду? Если да, то как, если нет, то почему?

[B3LYP]

пианист в сообщении #1728318 писал(а):

B3LYP в сообщении #1728287 писал(а):

есть ещё сферическая геометрия, с которой всё понятно

Лобачевский так же рассудил, и в Воображаемой Геометрии он показал, как его формулы сводятся к формулам сферической геометрии посредством использования мнимой единицы.

Вы сказали что-то что мне очень хотелось бы прояснить. Можно чуть подробнее? И ещё, вот эта статья - она в тему?

https://habr.com/ru/articles/1052770/

И ещё вопрос, мне казалось я слышал что в ОТО как раз работает геометрия Лобачевского, всё так?

[пианист]

B3LYP в сообщении #1728334 писал(а):

Можно чуть подробнее?

Лобачевский показывает, что те (экзотические) уравнения, которые получаются в его геометрии, можно получить из соотношений для сферической геометрии. Сферическая геометрия чем-то была схожа с геометрией Лобачевского: вроде такая же, но другая. Но, как Вы правильно заметили, сферическая была более-менее привычной и понятной. В отличие от.
Детали вот, стр.315.. если очень надо, это не очень легкое чтение.

B3LYP в сообщении #1728334 писал(а):

вот эта статья - она в тему?

Да, про соответствие сферической геометрии и геометрии Лобачевского там сказано.

B3LYP в сообщении #1728334 писал(а):

я слышал что в ОТО как раз работает геометрия Лобачевского, всё так?

ОТО локально снабжено геометрией Минковского, в которой появляются гиперболические функции, так же, как и в геометрии Лобачевского. Если Вы про это, то да.

[dgwuqtj]

wrest в сообщении #1728289 писал(а):

Седло же (гиперболический параболоид).

Тогда уж псевдосфера. Только это будет локальная модель: псевдосфера не односвязная и имеет край.

B3LYP в сообщении #1728334 писал(а):

И ещё вопрос, мне казалось я слышал что в ОТО как раз работает геометрия Лобачевского, всё так?

В СТО, а не в ОТО. В специальной теории относительности работает геометрия Минковского. Но если взять сферу в этой геометрии, то на ней геометрия будет в точности как в трёхмерном пространстве Лобачевского. Эта сфера с точки зрения аналитической геометрии будет двухполостным гиперболоидом, и надо брать только одну компоненту.

[BVR]

Где-то я встречал утверждение, что в трёхмерном евклидовом пространстве не существует поверхности, на которой (в целом) реализуется геометрия плоскости Лобачевского

[пианист]

Да, я тоже такое слышал. Именно поэтому и появились модели Клейна и Пуанкаре, просто и наглядно сделать геометрию Лобачевского в целом не получалось, только локально.

[B3LYP]

пианист в сообщении #1729079 писал(а):

Да, я тоже такое слышал. Именно поэтому и появились модели Клейна и Пуанкаре, просто и наглядно сделать геометрию Лобачевского в целом не получалось, только локально.

Вроде седло тоже обладает такими свойствами:



Тем не менее вроде очевидно, что седло это тоже не больше чем аналогия, "натягивание совы на глобус" (вроде модели Пуанкаре), а хотелось бы что-то настолько же убедительное, как сферическая геометрия. Мне до сих пор не ответили на вопрос в оп - как доказать что модель Пункаре это не "то что имел в виду Лобачевский", если все пять постулатов одинаково соблюдаются?

[dgwuqtj]

B3LYP в сообщении #1728287 писал(а):

чем такая модель отличается от "настоящей" геометрии Лобачевского?

Тем, что это модель. Как $\mathbb{R}^2$ является моделью евклидовой геометрии, а множество десятичных дробей (с оговорками) — моделью теории вещественных чисел.

[пианист]

B3LYP
Не понял, что значит "тоже". Дуги окружностей в модели Пуанкаре в точности подчиняются аксиомам геометрии Лобачевского, включая исправленный пятый постулат.
Существует модель на псевдосфере, но эта модель только локальная. Лобачевский также построил конструкцию, которая давала локальную модель, но он, насколько я знаю, именно такого утверждения, что это модель, не делал.
Вопроса по поводу "что имел в виду Лобачевский" я не понял. Уточните, о каких словах Лобачевского Вы говорите; его работы, если что, легко находятся в сети.

[warlock66613]

B3LYP в сообщении #1729126 писал(а):

Вроде седло тоже обладает такими свойствами

У седла кривизна непостоянная, так что моделью геометрии Лобачевского оно не является.

[Padawan]

Гугл говорит, что "В 1955 году югославский математик Данило Блануша (Danilo Blanuša) впервые предъявил явные аналитические формулы (класса $C^{\infty }$), которые изометрически переносят плоскость Лобачевского в $E^{6}$ (шестимерное евклидово пространство)."
В 1961 году советский математик Эдуард Позняк доказал, что полную плоскость Лобачевского $H^{2}$ можно изометрически и бесконечно гладко погрузить ( это значит локально в окрестности каждой точки вложить, но глобально возможны самопересечения, как у бутылки Клейна в $E^3$) в пятимерное пространство $E^{5}$.

Гильберт в 1901 году доказал, что в $E^3$ всю плоскость Лобачевского гладко и изометрически даже погрузить нельзя.

Можно ли $H^2$ изометрически вложить или хотя бы погрузить в $E^4$ -- открытая проблема.

-- добавлено через 14 минут --

То, что плоскость Лобачевского изометрически вкладывается в трëхмерное пространство Минковского $\mathbb R^{1, 2}$ как связная компонента сферы радиуса $1$ (или $-1$, в зависимости от выбора сигнатуры), уже сказали. Только на мой взгляд, это еще менее наглядно, чем вложение в $E^6$.

-- добавлено через 10 минут --

Статья Блануши https://link.springer.com/article/10.1007/BF01303796 (на немецком), с Sci-hub скачивается.
Он пишет, что построил вложение класса $C^\infty$, но не аналитическое. Удивительно. Интересно, а аналитическое бывает?