Сходимость степенного ряда

[dsge]

Мы в каком пространстве? $R^2$, $C$ или $C^2$? х и у - это действительная и мнимая часть комлексного числа, или сами комплексные числа?

[ihq.pl]

dsge, в $R^2$. С помощью перехода к комплексной переменной можно найти область вещественных значений переменных, в которой ряд Тейлора сходится. В случае одной переменной всё ясно и обосновано. А в случае двух - мне не ясно.

[dsge]

ihq.pl в сообщении #1727183 писал(а):

Вот то, что приблизительно ответил ИИ в первый раз. [i]Знаменатель функции $1/(c^2+x^2+y^2)$ равен нулю при $x^2 + y^2=-c^2$. То есть в точке $\sqrt{x^2+y^2}=ic$ особенность.

Тогда такого быть не может.

[wrest]

Вот и ряд Маклорена функции попроще, $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}, x \in \mathbb{R}$ расходится для $|x|>1$ ну а у соответствующей комплекснозначной функции $f(z)=\frac{1}{1+z^2}, z \in \mathbb{C}$ особенности при $z= \pm i$

[ihq.pl]

dsge в сообщении #1727203 писал(а):

Тогда такого быть не может.

Мне тоже кажется, что не может.

-- добавлено через 3 минуты --

wrest в сообщении #1727216 писал(а):

Вот и ряд Маклорена функции попроще, $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}, x \in \mathbb{R}$ расходится для $|x|>1$ ну а у соответствующей комплекснозначной функции $f(z)=\frac{1}{1+z^2}, z \in \mathbb{C}$ особенности при $z= \pm i$

Здесь то понятно. Ось x пересекает единичный круг в комплексной плоскости по интервалу $(-1,1)$. А в случае двух переменных, как у меня, уже не всё так просто.

[wrest]

ihq.pl в сообщении #1727220 писал(а):

А в случае двух переменных, как у меня, уже не всё так просто.

Ну у меня на тех значениях, что вы давали, ряд Маклорена функции из первого поста темы, при вычислениях не расходится и не колбасится.

[ihq.pl]

wrest в сообщении #1727231 писал(а):

Ну у меня на тех значениях, что вы давали, ряд Маклорена функции из первого поста темы, при вычислениях не расходится и не колбасится.

У меня тоже при этих значениях не расходится. И не колбасится.
Это уже проинтегрированный по прямоугольнику $[-a,a]\times [-b,b]$ ряд Маклорена. Область сходимости ряда Маклорена функции нужна как раз для того, чтобы знать при каких $a,b$ можно интегрировать, а при каких нельзя.

-- добавлено через 25 минут --

wrest, пардон. Вы имеете в виду

ihq.pl в сообщении #1727073 писал(а):

при значениях $a=5,b=4, x_0=7, y_0=1, c=1$

? Я так понял, при этих значениях вы посчитали только $S_0$ и $S_1$. Причем, вручную.

[Евгений Машеров]

У меня такое впечатление, что проблема тут не "чистой математики", а вычислительная, связанная с представлением чисел и где-то то ли переполнение, то ли исчезновение. Можно ли на программу взглянуть? Возможно, преобразовать так, чтобы получаемые слагаемые были одного порядка.

[wrest]

ihq.pl в сообщении #1727236 писал(а):

У меня тоже при этих значениях не расходится. И не колбасится.

Прекрасно, видимо поправили вашу проорамму, т.к. раньше колбасилось:

ihq.pl в сообщении #1726839 писал(а):

Причем, буквально для $n=N+10$ эта сумма принимает запредельные значения. Перепроверял сто раз.

ihq.pl в сообщении #1726940 писал(а):

График $S_n$. Дальше стремительный рост по амплитуде.

ihq.pl в сообщении #1727073 писал(а):

Дальше только хуже. Для $n>200$ "неприличные" для значений $S_n$ - это очень мягко сказано. Такое впечатление, что ряд расходится. А должен сходиться.

ihq.pl в сообщении #1727236 писал(а):

Я так понял, при этих значениях вы посчитали только $S_0$ и $S_1$. Причем, вручную.

Не только, я для этих параметров, а именно

ihq.pl в сообщении #1727236 писал(а):

при значениях $a=5,b=4, x_0=7, y_0=1, c=1$

также посчитал частичную сумму ряда, до 50-го члена т.е. $S_{50}$, ну и сам двойной интеграл численно (Симпсоном, решётка 500х500). Получил $\approx 2.3038974$ и там и там. При том что уже $S_1\approx 2,15$ - ничего никуда не расходится и не колбасится.

[ihq.pl]

Че то вы меня застращали.. Точно где-то ошибка, значит. Буду искать!

wrest в сообщении #1727248 писал(а):

При том что уже $S_1\approx 2,15$ -

Но у вас же там члены пропущены были. Как так?

[wrest]

ihq.pl в сообщении #1727251 писал(а):

Но у вас же там члены пропущены были. Как так?

Распишите $S_0$ и $S_1$ как у меня расписано. Я именно для этого расписал. У вас что получается?

[ihq.pl]

wrest в сообщении #1727252 писал(а):

Распишите $S_0$ и $S_1$ как у меня расписано. Я именно для этого расписал. У вас что получается?

Ну да, получается.
И я нашел одну досадную ошибку. Проблемы накопления ошибок это разумеется не решило. Но зато теперь я уверен. Спасибо!

-- добавлено через 4 минуты --

График при тех же значениях

tap to roll dice

-- добавлено через 3 минуты --

Евгений Машеров в сообщении #1727244 писал(а):

Можно ли на программу взглянуть?

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    printf("Hello!\n");

    double a, b, x0, y0, z0;
    a = 5.0;
    b = 4.0;
    x0 = 7.0;
    y0 = 1.0;
    z0 = 1.0;
    
    double r2, qa2, qb2, qx2, qy2;
    r2 = x0*x0 + y0*y0 + z0*z0;
    qa2 = a*a/r2;
    qb2 = b*b/r2;
    qx2 = 4.0*x0*x0/r2;
    qy2 = 4.0*y0*y0/r2;

    //double mn;
    double F0, Omega;
    double i2, j2, a_i, a_j;
    double sum_n, sum_m;
    
    char *name = "/Users/Data/tst";
    FILE *fp;
    fp = fopen(name, "w");
    
    int N, m, n, i,j;
    for(N=0;N<=40;N++){//S_N
        sum_m = 0.0;
        for(m=0;m<=N;m++){
            sum_n=0.0;
            for(n=0;n<=N-m;n++){
                F0 = 1.0;// бином. коэф. C_{m+n}^n
                for(i=1;i<=n;i++)F0 = F0*(m+i)/(double)i;
                
                Omega = F0;// Omega[m,n]
                
                a_j = F0;
                for(j=1;j<=m;j++){
                    j2 = 2.0*j;
                    a_j = -a_j*qx2*(m+n+j)*(m-j+1)/((j2-1.0)*j2);
                    Omega = Omega + a_j;
                }
                a_i = F0;
                for(i=1;i<=n;i++){
                    i2 = 2.0*i;
                    a_i = -a_i*qy2*(m+n+i)*(n-i+1)/((i2-1.0)*i2);
                    Omega = Omega + a_i;
                }
                
                a_j = F0;
                for(j=1;j<=m;j++){
                    j2 = 2.0*j;
                    a_j = -a_j*qx2*(m+n+j)*(m-j+1.0)/((j2-1.0)*j2);
                    a_i = a_j;
                    for(i=1;i<=n;i++){
                        i2 = 2.0*i;
                        a_i = -a_i*qy2*(m+n+j+i)*(n-i+1.0)/((i2-1.0)*i2);
                        Omega = Omega + a_i;
                    }
                }
                sum_n = sum_n + pow(-1.0,n)*pow(qb2,n)*Omega/(2.0*n+1.0);
            }
            sum_m = sum_m + pow(-1.0,m)*pow(qa2,m)*sum_n/(2.0*m+1.0);
        }
        fprintf(fp, "%d %lf\n",N, sum_m);
    }
    fclose(fp);
    return EXIT_SUCCESS;
}

-- добавлено через 2 минуты --

Но с радиусом сходимости всё равно, думаю, что-то не то.

[wrest]

ihq.pl в сообщении #1727258 писал(а):

И я нашел одну досадную ошибку.

Члены пропущены были?

[ihq.pl]

wrest в сообщении #1727260 писал(а):

ihq.pl в сообщении #1727258 писал(а):

И я нашел одну досадную ошибку.

Члены пропущены были?

Кое что было пропущено. Странным образом компилятор не реагировал на $s= -s$. Ну или я что-то не так сделал, что скорее всего. А у вас - да, показалось, что пропущены линейные члены. А вы просто сразу привели всё к общему знаменателю)

[wrest]

ihq.pl в сообщении #1727258 писал(а):

Проблемы накопления ошибок это разумеется не решило.

Разумеется. Алгоритмически можно повысить границу начала "расколбаса" с n=33 до n=38 или около того, но дальше надо менять double на long double. Ну и лучше, конечно, переходить на произвольную точность.