Сходимость степенного ряда

[Евгений Машеров]

Одно общее соображение и один наивный вопрос.
Повышение точности представления чисел полезно, если мы получаем разумное приближённое значение, но точность приближения недостаточна. Если по ходу расчёта программа идёт вразнос - надо корректировать алгоритм (который, возможно, "абстрактно верен", но где-то численные эффекты типа переполнения или, напротив, потери порядка).
И отчего считать через ряд, если всё равно надо интеграл считать от -a до a и от -b до b? Мне сдаётся, тут можно аналитически интегрировать...

[wrest]

Евгений Машеров в сообщении #1727268 писал(а):

Мне сдаётся, тут можно аналитически интегрировать...

Это вряд ли (не в элементарных функциях), но можно хотя бы себя проверить численно https://wolframalpha.com/input?i=NInteg ... 5D&lang=en

Но вот если интегрировать численно то вопрос - считать этот ряд или воспользоваться например Симпсоном. Мне так кажется, что за то же время ряд будет точнее.

[Евгений Машеров]

Ну, я человек ленивый. Позвал Альфу, она забесплатно до конца мне не досчитала, но один интеграл взяла.
$\int \frac1{x^2 + y^2 + c^2} dx = \frac {\arctg(\frac x{\sqrt{c^2 + y^2}})}{\sqrt{c^2 + y^2}} + C$
Нарисовать, с учётом сдвига $x_0$, пределы определённого интеграла можно, $-a+x_0$ и $a+x_0$
$I(y)=\frac {\arctg(\frac {a+x_0} {\sqrt{c^2 + y^2}})}{\sqrt{c^2 + y^2}} - \frac {\arctg(\frac {-a+x_0} {\sqrt{c^2 + y^2}})}{\sqrt{c^2 + y^2}}=\frac {\arctg\frac{2a}{{\sqrt{c^2 + y^2}}(1+a^2(c^2 + y^2))}}{\sqrt{c^2 + y^2}}$
Можно ли аналитически проинтегрировать полученное выражение по y - не вем. Но можно численно попробовать. А может, и аналитически выйдет.

[wrest]

Евгений Машеров в сообщении #1727277 писал(а):

Можно ли аналитически проинтегрировать полученное выражение по y - не вем.

Нет. Ну как... там вылазят два неполных эллиптических интеграла I и III рода, если их считать за элементарные функции...

[ihq.pl]

Евгений Машеров в сообщении #1727277 писал(а):

Ну, я человек ленивый.

Да, и полученный интеграл не берется в элементарных функциях. Хотя, он вполне компактно выражается через восемь интегральных арктангенсов, которые опять же надо представлять рядами. Но зато, не надо беспокоиться о радиусе сходимости ряда, с которого началась дискуссия) Просто это не совсем то, что мне надо. Я хотел получить простую приемлемую оценку интеграла. Разложил подынтегральную функцию по формуле Тейлора с остаточным членом. Но оценить интеграл остаточного члена по прямоугольнику не очень получается.

[wrest]

ihq.pl в сообщении #1727279 писал(а):

Просто это не совсем то, что мне надо. Я хотел получить простую приемлемую оценку интеграла. Разложил подынтегральную функцию по формуле Тейлора с остаточным членом.

А это, возможно, и не надо было, если для "приемлемой оценки". Просто посчитали бы какой-то известной вам квадратурной формулой. Хоть бы и прямоугольниками или тем же Симпсоном (параболами). Подыинтегральная функция вполне гладкая для этого, и никаких больших факториалов или расходящихся рядов.

[ihq.pl]

wrest в сообщении #1727282 писал(а):

Просто посчитали бы какой-то известной вам квадратурной формулой

Пардон, не так выразился. Нужна простая "прикидочная" формула, которая давала бы приемлемую оценку интеграла при любых значениях параметров.

[wrest]

ihq.pl в сообщении #1727283 писал(а):

Нужна простая "прикидочная" формула, которая давала бы приемлемую оценку интеграла при любых значениях параметров.

Так не бывает, при любых параметрах. Если прямоугольник по которому интегрируете близко к особенности, ряд будет медленно сходиться, а вашем исполнении - колбаситься. Тогда надо Гауссом/Симпсоном.
Универсально будет если вы в программе сперва оцениваете каким способом считать, и имеете реализованные оба способа - ряд и квадратура.
Квадратура будет работать всегда, но не всегда быстрее/точнее ряда.

[ihq.pl]

wrest в сообщении #1727287 писал(а):

Так не бывает, при любых параметрах.

Ну да, с "любыми" значениями параметров выше я погорячился. Но если разумно ограничить область изменения параметров, то бывает. В данном случае, например, если предположить, что $r_0$ очень большое, то интеграл можно оценить величиной $4ab/r_0^2$ Но это слишком сильное ограничение. Хотелось бы получить прикидочную формулу в более общем случае. Но для этого нужно знать радиус сходимости $R$ ряда Маклорена подынтегральной функции. И тогда, при условии $a^2+b^2 < R^2/4$ первые два члена ряда, который мы считали, будут давать хорошую оценку.

[Евгений Машеров]

"Прикидочная" - с какой точностью? А то может хватить $\frac {4ab} {c^2}$ Порядок величины даст.
А для большей - численное интегрирование по двум координатам, или получисленное, по одной аналитически, по второй численно (можно Гауссом по 2 или 3 точкам).
И, возвращаясь к расчётам через ряд. Если с ростом членов ряда точность падает, то стоит искать ошибку. Я в тексте программы не нашёл, но я и не искал очень тщательно. Но что тут некоторые сомножители резко растут, а другие падают, так что произведение должно бы остаться в разумных пределах, это видно. И возможный вариант - что кто-то убывает до потери всех значащих цифр (underflow), и получившийся ноль не компенсируется другим множителем, как бы он ни был велик. Если действительно нужно через ряд, то, наверно, надо сомножители сгруппировать, чтобы большие умножались на малые, а произведение лежало бы в осмысленных границах. Однако, как мне кажется, здесь это излишне.

[ihq.pl]

Евгений Машеров в сообщении #1727291 писал(а):

Прикидочная" - с какой точностью?

Точнее, чем в моем предыдущем посте, ответить пока не могу.

-- добавлено через 48 минут --

Теорема говорит, что если ряд

$$\sum_{n,m} g_{n,m}u^mv^{n} \qquad (1)$$

равномерно сходится на $A$, то ряд

$$\sum g_{n,m}\int\limits_A u^mv^{n}dudv\qquad (2)$$

сходится и

$$\int\limits_A\sum_{n,m} g_{n,m}u^mv^{n} dudv = \sum g_{n,m}\int\limits_A u^mv^{n}dudv.$$

Но теорема не говорит, что если ряд (1) расходится на некотором подмножестве $A$, то ряд (2) тоже расходится. Поэтому гипотетически возможна ситуация, когда ряд (2) сходится, даже если исходный ряд расходится на некотором подмножестве $A$, и при этом сумма этого ряда не равна интегралу на $A$ функции $g$. Это так?

[wrest]

Евгений Машеров в сообщении #1727291 писал(а):

Я в тексте программы не нашёл, но я и не искал очень тщательно.

Там не в тексте, там в принципе, использование типов (разрядности) данных при которых теряется точность из за вычитания близких больших чисел. Ошибка в том, что программист это не учёл :)