Сходимость степенного ряда

[ihq.pl]

wrest, спасибо!

[Someone]

Можно поэкспериментировать со стандартным рядом Маклорена для $\sin x$, вычисляя синус для $x=1, 2, 3, 4,\ldots$.

Суть проблемы состоит в том, что члены ряда сначала возрастают, а потом начинают быстро убывать, и ряд сходится.
Если вычисления делаются с ограниченным количеством "цифр", то ошибки округления больших членов тоже становятся большими, достигая совершенно неприличной величины.
В курсе математического анализа об этом обычно ничего не говорят.

[Евгений Машеров]

В общем, мне видится чисто вычислительная проблема. Она обусловлена конечностью числа разрядов в представлении чисел и, в частности, может быть связана с "катастрофическим округлением", когда вычитаются два близких числа с плавающей запятой. Тогда достаточно точно известные старшие разряды взаимопогашаются, а результат определяется младшими, несущими на себе ошибку округления, разрядами. Но поскольку тут очень большой множитель $C_m^k$, то ошибка уровня последнего знака ($10^{-17}$ или около того), превращается в большую по абсолютной величине.
Менее вероятные варианты - ошибка в вычислении факториалов, связанная с переполнением (при рекурсивном расчёте вряд ли) и эффекты UNDERFLOW (потери всех значащих цифр)
Варианты лечения - в любом случае убрать вычитание близких значений.
Вариант А. Преобразовать формулу, убрав численное вычитание, вычтя аналитически "четный" член рядя из "нечётного"(придётся ограничится случаем чётных m, n, k) и затем складывая.
Вариант Б. Не складывать слагаемые сразу, а писать в массив (лучше два - для положительных и отрицательных). Затем его отсортировать по возрастанию абсолютной величины и сложить отдельно положительные, отдельно отрицательные, и только на последнем этапе получить разность (сегрегация по знаку - чтобы убрать вычитание с риском "катастрофического округления", на финальном этапе величины должны быть не столь грандиозны; сортировка, чтобы, прибавляя малое к большому, не потерять малое, если начинать с малых, сумма будет расти постепенно)
Вариант В. Использовать арифметику повышенной точности. Помимо технических сложностей (непонимания компилятором и необходимости делать ассемблерные вставки) - проблема вновь проявится, пусть позже.
Вариант Г. Обрывать ряд достаточно рано.
Лично я попробовал бы "Б".

[Geen]

Евгений Машеров в сообщении #1727049 писал(а):

Лично я попробовал бы "Б".

Так Вы и получите вычитание двух больших но близких по значению (если два массива)...

[Евгений Машеров]

А в любом случае будет вычитание. Надо извернуться, чтобы минимизировать вред от него.
Можно попробовать вычитать один массив из другого (отсортированные), и затем суммировать разности.

[dsge]

ihq.pl в сообщении #1726847 писал(а):

Лучше, наверное, так написать

$$\int_{-a}^a\int_{-b}^b g(u,v)dudv = S_n + R_n$$

где

$$S_n = \sum_{k=0}^n \sum_{m=0}^k g_{k,m}\int_{-a}^a\int_{-b}^b u^mv^{k-m}dudv, \quad g_{k,m} = \frac{1}{k!}C_k^m\frac{\partial^k g}{\partial u^m\partial v^{k-m}}\Big|_{(0,0)}.$$

.

Может сократить-упростить что-то. При нечетных $k$ все двойные интегралы равны нулю. При четных тоже многие слагаемые обнуляются. В машинных расчетах интеграл может получиться каким-то образом равным, скажем, $10^{-17}$, а не 0. Лучше рассписать значения интегралов.

[ihq.pl]

dsge в сообщении #1727065 писал(а):

При нечетных $k$ все двойные интегралы равны нулю.

Да, члены ряда при нечетных k и m нули. Это учтено.

-- добавлено через 14 минут --

Someone в сообщении #1727031 писал(а):

Суть проблемы состоит в том, что члены ряда сначала возрастают, а потом начинают быстро убывать, и ряд сходится.

Не знаю, может, и мой ряд иногда ведет себя так же. Вот, например, график при значениях $a=5,b=4, x_0=7, y_0=1, c=1$


Дальше только хуже. Для $n>200$ "неприличные" для значений $S_n$ - это очень мягко сказано. Такое впечатление, что ряд расходится. А должен сходиться.

[wrest]

ihq.pl в сообщении #1727073 писал(а):

Не знаю, может, и мой ряд иногда ведет себя так же. Вот, например, график при значениях $a=5,b=4, x_0=7, y_0=1, c=1$

Это что-то очень странное. У меня получается:
$S_0=\dfrac{4ab}{x_0^2+y_0^2+c^2}=\dfrac{80}{51} \approx 1.57$
$S_1 = \dfrac{4ab}{r^2} \left[ \underbrace{1}_{m=0,k=0} + \underbrace{\frac{25 \cdot 145}{3 \cdot 51^2}}_{m=1,k=0} - \underbrace{\frac{16 \cdot 47}{3 \cdot 51^2}}_{m=0,k=1} \right] = \dfrac{80}{51} \cdot \dfrac{10676}{7803} = \dfrac{854080}{397953}\approx 2.15$

где $r^2 = x_0^2+y_0^2+c^2 = 51$, $a^2/r^2 = 25/51$, $b^2/r^2 = 16/51$

[ihq.pl]

wrest, куда-то делись линейные по $a^2/r^2, b^2/r^2$ члены. Может, забыли написать. И я не умножаю на коэффициент $4ab/r^2$ (в прошлом примере он был равен единице).

[wrest]

ihq.pl
То есть

ihq.pl в сообщении #1727073 писал(а):

при значениях $a=5,b=4, x_0=7, y_0=1, c=1$

у вас $S_1=1$ ?

[ihq.pl]

wrest в сообщении #1727091 писал(а):

у вас $S_1=1$ ?

Нет нет, всё начинается с нуля. Надо изменить отсчет в программе.

-- добавлено через 10 минут --

По абциссе. Моя графическая программа начинает отсчет с единицы.

[wrest]

ihq.pl в сообщении #1727093 писал(а):

Нет нет, всё начинается с нуля. Надо изменить отсчет в программе.

-- добавлено через 10 минут --

По абциссе. Моя графическая программа начинает отсчет с единицы.

Я ничего не понял, ктотна ком стоял. Смотрю на график, вижу что единице по одной координате соответствует единица по другой. А сверху над графиком написано, что график для $a=5,b=4, x_0=7, y_0=1, c=1$

(Оффтоп)

В общем, я не понимаю что вы пишете, так что пока наверное комментировать не буду

[ihq.pl]

wrest в сообщении #1727103 писал(а):

Смотрю на график, вижу что единице по одной координате соответствует единица по другой.

Вот так должно быть

[ihq.pl]

Признаюсь, то, что ряд Маклорена функции

$$g(u,v) = \frac{1}{c^2+(x_0+u)^2 + (y_0+v)^2}$$

сходится при условии $u^2+v^2<c^2+x_0^2+y_0^2$, сказал мне Google AI. Как выясняется, это неверно. Но самое интересное это то, что когда сегодня я ввел в Гугл тот же вопрос, чтобы сделать скриншот ответа и показать здесь, ИИ выдал совершенно другой ответ. И этот ответ, как мне кажется, тоже неверный.

-- добавлено через 29 минут --

На этот раз ИИ представил функцию в виде

$$f(u,v) = \frac{1}{c^2+x_0^2+y_0^2}\frac{1}{1+q}$$

и стал искать минимальное расстояние до границы области $q<1$.

[ihq.pl]

Вот то, что приблизительно ответил ИИ в первый раз. Знаменатель функции $1/(c^2+x^2+y^2)$ равен нулю при $x^2 + y^2=-c^2$. То есть в точке $\sqrt{x^2+y^2}=ic$ особенность. Поскольку радиус сходимости $d$ равен расстоянию от точки $(x_0,y_0)$ до ближайшей особой точки, он вычисляется по формуле $d^2 = c^2+x_0^2+y_0^2$. Поэтому для любых $(x,y)$, $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2<d^2$, ряд Тейлора с центром в точке $(x_0,y_0)$ сходится.

Вопрос: не правильнее было бы сказать, что ряд Тейлора сходится для всех $(x,y)$, удовлетворяющих условию

$$|\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{x_0^2+y_0^2}|<d$$

?