Удивительные математические совпадения

[Shizuka404]

Приветствую участников форума!

Недавно в одной из соседних веток мы обсуждали числовые комбинации, и коллега wrest (если не ошибаюсь) привёл очень изящный пример аппроксимации с использованием числа Пи:

\(5 - \frac{7\pi}{22} \approx 4.000407...\)

Меня невероятно увлекла эта тема. В литературе такие феномены часто называют Mathematical coincidences (математические совпадения) — когда комбинация независимых констант или простых целых чисел внезапно даёт почти идеальное целое число или красивый визуальный цифровой узор (как обилие нулей в примере выше).

Подскажите, какими ещё изящными, парадоксальными или просто забавными «почти-совпадениями» вы можете поделиться?

Наверняка многим известна знаменитая константа Рамануджана:
\(e^{\pi \sqrt{163}} \approx 262537412640768743.99999999999925...\) за которой скрывается глубокая теория модулярных функций. Но, возможно, существуют менее известные, но визуально удивительные примеры, связывающие \(\pi \), e, золотое сечение или простые радикалы?

Было бы очень интересно собрать коллекцию таких формул и узнать, какие из них являются чисто случайными аппроксимациями, а за какими скрывается реальная математическая глубина.

Заранее спасибо за ваши примеры и комментарии!

[Yadryara]

Shizuka404 в сообщении #1726713 писал(а):

Недавно в одной из соседних веток мы обсуждали числовые комбинации, и коллега wrest (если не ошибаюсь) привёл очень изящный пример аппроксимации с использованием числа Пи:

\(5 - \frac{7\pi}{22} \approx 4.000407...\)

Это же была шутка, вы не поняли?

Усложнение давным-давно известного приближения $\pi \approx \frac{22}7$

[Shizuka404]

Yadryara в сообщении #1726715 писал(а):

Shizuka404 в сообщении #1726713 писал(а):

Недавно в одной из соседних веток мы обсуждали числовые комбинации, и коллега wrest (если не ошибаюсь) привёл очень изящный пример аппроксимации с использованием числа Пи:

\(5 - \frac{7\pi}{22} \approx 4.000407...\)

Это же была шутка, вы не поняли?

Усложнение давным-давно известного приближения $\pi \approx \frac{22}7$

[tolstopuz]

Вот тема практически про это.
topic19822.html

[Shizuka404]

tolstopuz в сообщении #1726725 писал(а):

Вот тема практически про это.
topic19822.html

О, хорошо, обязательно прочитаю.

Огромное спасибо

[Dan B-Yallay]

На случай, если забыли точное значение числа 8, вот тут предлагают хорошее приближение

Вложение:

px.jpg

[Shizuka404]

Dan B-Yallay в сообщении #1726733 писал(а):

На случай, если забыли точное значение числа 8, вот тут предлагают хорошее приближение

Вложение:

px.jpg

12345679 \cdot 9 = 111111111

[dani1978]

Dan B-Yallay в сообщении #1726733 писал(а):

На случай, если забыли точное значение числа 8, вот тут предлагают хорошее приближение

Вложение:

px.jpg

А есть какое-то объяснение распределению пачек нулей в дробной части?

8,0000000729000006633900060368491 - 7-5-3-1 нулей

[Null]

$$\frac{987654321}{123456789}=8+0,0000000729\frac{1}{1-0.0000000091}$$

- бесконечная геометрическая прогрессия, например $66339=729\times 91$