Волновой импульс в механике Ньютона

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1726274 писал(а):

Так энергия - это этот же интеграл почти этот же интеграл - $y_t$ вместо $y_x$.

Ну, наверное, не "вместо", а вместе?

(Оффтоп)

$$\mathcal{E} = \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \frac{\rho_0}{2} \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 + \frac{T_0}{2} \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 \right) dx$$

realeugene в сообщении #1726274 писал(а):

На опору действует стандартно.

Выражение $p = -\rho\partial_t {\xi}\partial_x {\xi}$ на жёсткой опоре даёт ноль.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1725313 писал(а):

Здесь https://web.phys.ntnu.no/~stovneng/TFY4 ... pdf#page=3 формула (5).

А, так эта формула лажёвая. Импульс волны через фиксированную координату переносится наклоном нити, а не движением массы, как я написал выше. А если брать плотность "импульса волны" как летящей со скоростью волны некоторой массы - то нужно брать только дополнительную летящую массу $m_+$, и в ней коэффициент $1/2$, так как в длине нити квадрат производной сидит под корнем.

-- добавлено через 41 минуту --

chislo_avogadro в сообщении #1726275 писал(а):

$$\mathcal{E} = \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \frac{\rho_0}{2} \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 + \frac{T_0}{2} \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 \right) dx$$

Это верно. При единичной плотности и скорости волны также единично натяжение нити, так что полная энергия шапочки равна $2 m_+$.

[lel0lel]

realeugene
Вы неправильно считаете импульс волнового пакета. Как минимум, не учитывается потенциальная энергия волны. И предложенная модель, с конечной скоростью в нерастяжимой струне, является противоречивой.

[realeugene]

lel0lel в сообщении #1726277 писал(а):

Вы неправильно считаете импульс волнового пакета. Как минимум, не учитывается потенциальная энергия волны.

Я и считаю импульс, а не энергию.

lel0lel в сообщении #1726277 писал(а):

И предложенная модель, с конечной скоростью в нерастяжимой струне, является противоречивой.

Конечная скорость поперечной волны, а не продольной.

-- добавлено через 3 минуты --

realeugene в сообщении #1726274 писал(а):

Отражается такая же волна противоположного знака, в результате опоре передаётся удвоенный импульс одной волны. Но ваше выражение даёт удвоенный импульс для одной шапочки.

А вот в этом месте есть нюанс. Когда отразилась ровно половина шапочки, струна станет всюду горизонтальной. Тут модель нерастяжимой струны явно более не применима.

[lel0lel]

realeugene в сообщении #1726278 писал(а):

считаю импульс, а не энергию.

В среде без дисперсии, различие в них сводится к умножению/делениию на скорость.

realeugene в сообщении #1726278 писал(а):

Конечная скорость поперечной волны, а не продольной.

Сложно такое представить. Как сформирована волна?

[realeugene]

lel0lel в сообщении #1726279 писал(а):

В среде без дисперсии, различие в них сводится к умножению/делениию на скорость.

Но считается по-разному.

lel0lel в сообщении #1726279 писал(а):

Сложно такое представить. Как сформирована волна?

Ну например дёрнули конец поперёк, одновременно переместив его вперёд. Если концы зафиксировать, то появление волны увеличивает натяжение нити и изменяет поток импульса через натянутую нить. Это изменение тоже пропорционально квадрату амплитуды волны и имеет противоположный знак.

-- добавлено через 12 минут --

realeugene в сообщении #1726203 писал(а):

Тогда дополнительная масса (и импульс при $v=1$, $\rho=1$) шапочки:

$$m_+=\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{y_x^2}2 dx}=A^2\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2}$$

Всё, нашёл ошибку. Это импульс "дополнительной" длины нити в шапочке, которая переместилась вперёд за 1 секунду на расстояние 1. Но есть ещё равный ей импульс "основной" нити, длина которой за 1 секунду равна 1 и расстояние перемещения вперёд равно $m_+$. Так что суммарно импульс шапочки равен таки $2 m_+$.

-- добавлено через 20 минут --

lel0lel в сообщении #1726282 писал(а):

Ничего не понятно

Идея посчитать импульс пакета в виде малой гауссовой шапочки "в лоб". Она перемешается вперёд по нити сохраняя форму. Производные считаются легко.

[lel0lel]

realeugene в сообщении #1726280 писал(а):

Идея посчитать импульс пакета в виде малой гауссовой шапочки "в лоб".

Вроде понял о чём речь, но со многим не согласен. Вы рассчитываете импульс, закладываемый в пакет при его генерации в нерастяжимой нити. В него включён импульс центра масс участка нити; он смещается вправо, поскольку, без такого смещения, нельзя получить "шапочку" в нерастяжимой нити. Далее, согласно вашим рассуждениям, другая часть импульса -- это импульс "избыточной массы", накопленной в шапочке, и "движущейся" со скоростью волны (избыточная масса шапочки считается через интеграл по гауссиане, вычисляется её длина в приближении малой амплитуды). Но это снова импульс центра масс нити, ведь вдоль струны переноса вещества нет. Таким образом, дважды посчитан один и тот же импульс, а их сумма приводит к верному ответу, так как потенциальная и кинетическая энергии в пакете равны. Похоже, что таким способом -- расчёт импульса волны "в лоб", через учёт именно движущихся масс в направлении струны, правильный ответ получить нельзя, так как половина импульса связана с напряжениями в струне, а не напрямую со скоростями.

-- добавлено через 20 минут --

realeugene в сообщении #1726280 писал(а):

Если концы зафиксировать, то появление волны увеличивает натяжение нити и изменяет поток импульса через натянутую нить.

Это непонятно. Натяжение нити нужно для распространения волны.
А вы говорите, что если волна появилась, то и натяжение нити для неё будет. Лучше другую модель выбрать.

[realeugene]

lel0lel в сообщении #1726297 писал(а):

Вы рассчитываете импульс, закладываемый в пакет при его генерации в нерастяжимой нити.

Ни в коем случае. Процесс "закладывания импульса" может быть слишком сложен и его я не считаю. Я считаю установившийся режим пролёта шапочки постоянной формы по струне и связанный с этим пролётом дополнительный импульс. Постоянный поток импульса где-то на концах при постоянном натяжении струны я при этом игнорирую - он постоянен и при постоянном натяжении струны от наличия на струне шапочки не зависит.

lel0lel в сообщении #1726297 писал(а):

Но это снова импульс центра масс нити, ведь вдоль струны переноса вещества нет.

Есть! В шапочке струна длиннее на $m_+$. Шапочка была слева - через секунду оказалась справа. Струна слева распрямилась, и вся центральная часть струны массой 1 переместилась вправо на расстояние $m_+$. И кроме того на расстояние 1 переместилась дополнительная масса в шапочке $m_+$.

lel0lel в сообщении #1726297 писал(а):

Это непонятно. Натяжение нити нужно для распространения волны.

Да. Но так как струна в шапочке чуть длиннее, струна с шапочкой или должна растянуться дополнительно, или нужно сдвинуть концы струны на эту избыточную длину внутри шапочки, чтобы натяжение струны не изменилось.

[lel0lel]

realeugene в сообщении #1726300 писал(а):

Шапочка была слева - через секунду оказалась справа. Струна слева распрямилась, и вся центральная часть струны массой 1 переместилась вправо на расстояние $m_+$. И кроме того на расстояние 1 переместилась дополнительная масса в шапочке $m_+$.

Это одно и тоже смещение центра масс струны. Если струна полностью распрямится, то она будет лежать правее, чем была в начале, на дополнительную длину шапочки. Но ведь это и есть смещение центра масс струны, о каком же импульсе дополнительной массы идёт речь. Он у вас дважды считается, через смещение шапочки и через смещение центра масс. Давайте без бесконечных хвостов, пусть шапочка строго локализована. Её смещение это передача возмущения соседним невозмущенным участкам. Концы, когда возмущение уже создано, никуда не едут пока до них не дойдет возмущение.

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1726276 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #1726275 писал(а):

$$\mathcal{E} = \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \frac{\rho_0}{2} \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 + \frac{T_0}{2} \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 \right) dx$$

Это верно. При единичной плотности и скорости волны также единично натяжение нити, так что полная энергия шапочки равна $2 m_+$.

Это означает, что при Вашем определении импульса не выполняется соотношение $\mathcal{E} = Pv$.

realeugene в сообщении #1726276 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #1725313 писал(а):

Здесь https://web.phys.ntnu.no/~stovneng/TFY4 ... pdf#page=3 формула (5).

А, так эта формула лажёвая.

Не думаю. Здесь я бы доверял стандартному выводу из лагранжиана.

realeugene в сообщении #1726274 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #1726272 писал(а):

Но тут самое интересное, как мне кажется, это механизм действия на опору.

На опору действует стандартно. Отражается такая же волна противоположного знака, в результате опоре передаётся удвоенный импульс одной волны.

Означает ли это, что Вы волну уподобляете какому-нибудь шарику? Он бьёт в опору и отражается, передав импульс? Но здесь ведь волна, надо искать другие механизмы. Мой ответ Вы знаете - уменьшение силы натяжения вследствие наклона струны на опоре. Он был дан для синусоидальной волны, но его можно обобщить для любой $f(x-vt)$.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1726303 писал(а):

Означает ли это, что Вы волну уподобляете какому-нибудь шарику? Он бьёт в опору и отражается, передав импульс? Но здесь ведь волна, надо искать другие механизмы.

Не надо искать. Волны от нулевого импеданса (в данном случае от неподвижной опоры) именно так и отражаются. Энергия уйти никуда не может - обратно улетает волна той же формы противоположного знака. В сумме отклонение на опоре равно нулю. И опоре передаётся удвоенный импульс: импульс прилетевшей волны плюс отдача от улетевшей.

-- добавлено через 2 минуты --

chislo_avogadro в сообщении #1726303 писал(а):

Это означает, что при Вашем определении импульса не выполняется соотношение $\mathcal{E} = Pv$.

Это означает, что сначала я потерял половину импульса.

-- добавлено через 8 минут --

chislo_avogadro в сообщении #1726303 писал(а):

Мой ответ Вы знаете - уменьшение силы натяжения вследствие наклона струны на опоре.

Нет никакой опоры. Есть координата $x=0$. Через неё пролетает шапочка. Которая переносит через координату импульс $2m_+$. Но изменение наклона струны при прохождении шапочки переносит через эту координату только импульс $m_+$. Как переносится вторая половина импульса?

С массой участка струны? Но эта масса $m_+\propto A^2$, и она перемещается на расстояние $m_+$ за время, не зависящее от $A$, так что скорость перемещения этого участка струны через границу $\propto A^2$, и он переносит импульс $\propto A^4$.

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1726304 писал(а):

Не надо искать. В сумме отклонение на опоре равно нулю. И опоре передаётся удвоенный импульс: импульс прилетевшей волны плюс отдача от улетевшей.

Можно, конечно, и не искать, удовлетворившись выводом из законов сохранения. Но если вопрос поставлен, то хорошо бы иметь на него ответ.

realeugene в сообщении #1726304 писал(а):

Это означает, что сначала я потерял половину импульса.

Покажите, как Вы эту половину нашли.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1726305 писал(а):

Покажите, как Вы эту половину нашли.

realeugene в сообщении #1726280 писал(а):

Это импульс "дополнительной" длины нити в шапочке, которая переместилась вперёд за 1 секунду на расстояние 1. Но есть ещё равный ей импульс "основной" нити, длина которой за 1 секунду равна 1 и расстояние перемещения вперёд равно $m_+$. Так что суммарно импульс шапочки равен таки $2 m_+$.

-- добавлено через 43 секунды --

chislo_avogadro в сообщении #1726305 писал(а):

Можно, конечно, и не искать, удовлетворившись выводом из законов сохранения. Но если вопрос поставлен, то хорошо бы иметь на него ответ.

Можно посмотреть как отражаются электромагнитные волны от идеального проводника.

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1726304 писал(а):

Как переносится вторая половина импульса?

Для синусоидальной стоячей волны всё легко проверяется.

-- добавлено через 1 минуту --

realeugene в сообщении #1726306 писал(а):

Можно посмотреть как отражаются электромагнитные волны от идеального проводника.

Это другое.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1726307 писал(а):

Это другое.

Нет. Так отражаются все линейные волны от закоротки.

-- добавлено через 48 секунд --

chislo_avogadro в сообщении #1726307 писал(а):

Для синусоидальной стоячей волны всё легко проверяется.

В стоячей волне поток импульса нулевой.