Пятая степень с той же суммой цифр, что и её основание

[gipokrat]

Настя возвела некоторое положительное целое число в пятую степень и обнаружила, что сумма цифр результата совпала с суммой цифр исходного числа. Обязательно ли эта сумма равна 1?

Нет, не обязательно.
Например, подходит вот такое число:

2000000000000002999999999999999999999999999999000000000000004000000000000002

У него сумма цифр равна 280.
Если это число возвести в пятую степень, то сумма цифр результата тоже будет равна 280.
Значит, сумма цифр вовсе не обязана быть равной 1.

Отдельный вопрос: существует ли меньшее, чем приведённое выше, положительное целое число, у которого сумма цифр совпадает с суммой цифр его пятой степени, причём эта совпадающая сумма превышает 1?

[maxal]

См. также A363836 и https://math.stackexchange.com/q/1401871

[ozheredov]

gipokrat в сообщении #1725321 писал(а):

вот такое число:

2000000000000002999999999999999999999999999999000000000000004000000000000002

gipokrat в сообщении #1725321 писал(а):

Если это число возвести в пятую степень...

... используя Центральный Вычислительный Сервер Матрицы

Серьёзно, допустим в пятую степень (не приблизительно, а точно) я возведу. Но как Вы его вообще обнаружили? И почему оно такое разреженное в плане значащих цифр - это как-то связано с конкретным методом поиска?

[gipokrat]

ozheredov в сообщении #1726189 писал(а):

Но как Вы его вообще обнаружили? И почему оно такое разреженное в плане значащих цифр - это как-то связано с конкретным методом поиска?

Еджипитина помогла:

Еджипитина писал(а):

Идея была не в том, чтобы напрямую перебирать такие огромные числа.

Число искалось в блочном виде. Берём большое основание

$$ x=10^{15} $$

и рассматриваем не само десятичное число, а сначала многочлен с маленькими коэффициентами:

$$ P(x)=2x^5+3x^4-x^2+4x+2. $$

Потом подставляем

$$x=10^{15}$$

.

Отрицательный член

$$-x^2$$

как раз и даёт длинные девятки, потому что

$$ 3x^4-x^2=2x^4+(x-1)x^3+(x-1)x^2. $$

При

$$x=10^{15}$$

это означает два блока по 15 девяток. Отсюда и такой “разреженный” вид числа: это число, собранное из больших десятичных блоков.

Дальше проверяется пятая степень. При раскрытии

$$ P(x)^5=\sum c_i x^i $$

все коэффициенты

$$c_i$$

оказываются положительными и маленькими; самый большой из них равен всего 14080, то есть намного меньше

$$10^{15}$$

. Поэтому при подстановке

$$x=10^{15}$$

между блоками не возникает переносов.

Значит, сумма цифр пятой степени считается просто как сумма сумм цифр этих коэффициентов. В данном примере она тоже получается равной 280.

Так что это не прямой перебор 76-значных чисел, а поиск среди небольших многочленов, которые после подстановки

$$x=10^k$$

превращаются в большие десятичные числа с контролируемыми переносами. Минимальность примера я не утверждаю — именно поэтому и вынес этот вопрос отдельно.

[maxal]

gipokrat
Идея с $P(x)$ плодотворная и работает также и для упомянутого мной вопроса (для $x=10^{16}$):

maxal in post #1726177 писал(а):

См. также A363836 и https://math.stackexchange.com/q/1401871