Вот график напряжения на конденсаторе (зелёным) и тока через диод (красным), по клику в полный размер:

Как видите ток через конденсатор не идёт, конденсатор просто заряжается.
А вот с резистором (ток через него сиреневым):

При наличии нагрузки конденсатор заряжается пока открыт диод и потом разряжается на резистор, ток через который не прекращается и при закрытом диоде. Ток через конденсатор при этом меняет направление при заряде от источника и разряде на нагрузку.
-- добавлено через 3 минуты --Если вместо диода резистор...
Ааа конденсатор заряжается/разряжается по экспоненте...
Нет. По экспоненте - от
постоянного напряжения, здесь же напряжение синусоидальное, с ним экспоненты не будет.
-- добавлено через 22 минуты --Вот если с источника подать
прямоугольное напряжение вместо синусоидального, тогда да, конденсатор будет заряжаться и разряжаться по экспоненте.