Связь между u_x и u_t на конце неоднородной струны

[Padawan]

В учебнике Тихонова, Самарского Уравнения математической физики, глава II, $\S 2$, п.9 (в самом конце) приведена формула, связывающая $\mu'(t)=u_t(0,t)$ и $\nu(t)=u_x(0,t)$, то есть скорость и силу на конце колеблющейся струны с уравнением $u_{tt}=a^2 u_{xx}$, $t>0$, $x>0$. Вот эта формула

$$ \nu(t)=\frac1a\left (\psi(at)+a\varphi'(at)-\mu'(t)\right), $$

где $\varphi(x)=u(x,0)$, $\psi(x)=u_t(x,0)$ -- начальные условия, $x\geqslant 0$.

Вопрос: можно ли получить аналогичную формулу для случая неоднородной струны с уравнением $u_{tt}=a^2(x) u_{xx}$?

[Padawan]

Можно ли утверждать, что зависимость между $u_x(0, t)$ и $u_t(0, t)$ будет линейной, раз уравнение линейное?

[amon]

Padawan в сообщении #1725496 писал(а):

Вопрос: можно ли получить аналогичную формулу для случая неоднородной струны с уравнением $u_{tt}=a^2(x) u_{xx}$?

Тут такое дело. Для "настоящей" неоднородной струны, у которой либо плотность, либо модуль упругости, либо и то и другое зависят от координаты, уравнение $u_{tt}=a^2(x) u_{xx}$ является приближенным. В "настоящем" уравнении будет еще член пропорциональный $a'(x)u_x,$ а может и еще что-нибудь. Таким членом можно пренебречь, если $a$ меняется очень медленно, а тогда, IMHO, вблизи конца сохранится все, что пишут Тихонов с Самарским с заменой $a$ на $a(0).$