Математика для экономистов и айтишников

[пианист]

Dedekind в сообщении #1671479 писал(а):

Чего не удалось (но хотелось бы):
1. Продемонстрировать ценность введения абстрактного векторного пространства (через аксиомы и вот это все). Если кто-то может посоветовать практическую задачку, которая хотя бы отдаленно использует что-то из этого подхода - был бы весьма признателен:)

Печаль.
Не сильно практическая, конечно, но все-таки полезность иллюстрирует: вывод формулы Бине для чисел Фибоначчи.

[nnosipov]

Dedekind в сообщении #1671479 писал(а):

1. Продемонстрировать ценность введения абстрактного векторного пространства (через аксиомы и вот это все).

Конечные векторные пространства имеют много приложений (криптография, теория кодирования).

пианист в сообщении #1671513 писал(а):

вывод формулы Бине для чисел Фибоначчи

Да чего мелочиться: вся стандартная теория линейных рекурренций с постоянными коэффициентами даром получается.

[Dedekind]

пианист в сообщении #1671513 писал(а):

вывод формулы Бине для чисел Фибоначчи

Ну да, именно это - не слишком вдохновляет. Но спасибо, в этот раз все-таки подробнее присмотрюсь к рекуррентным соотношениями и криптографии, возможно, что-то получится вытащить. Я, конечно, буду искать, но nnosipov, пианист можете ли, пожалуйста, сразу посоветовать какую-то литературу для начала? Желательно, чтобы содержалась демонстрация практического применения.

Кстати, нашел великолепную, для моих целей, книгу Lay - Linear Algebra and Its Applications. Теории не особо много (но все равно, больше, чем мне нужно), зато куча практических и "псевдопрактических" (но лучше, чем ничего) задач. Про PageRank, например, взял оттуда. Если кто-то знает еще похожие, и особенно на русском - скажите.

[nnosipov]

Dedekind в сообщении #1671598 писал(а):

посоветовать какую-то литературу для начала? Желательно, чтобы содержалась демонстрация практического применения.

Я думаю, литературу можно подбирать, отталкиваясь от примеров. У меня как-то студенты разбирали Advanced Encryption Standard. Здесь как раз нужны конечные поля, про которые можно узнать из разных учебников, например Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра. СПб.: Изд-во «Лань», 2015. (Проблема в том, что все эти книжки довольно толстые и там может быть много лишнего; я пользовался своей методичкой по конечным полям, по ней и лекции студентам читал.) В целом, сюжет c точки зрения математики непростой, но если понравится и захочется покопаться в деталях, то и хорошо.

Можно взять примеры криптосистем попроще, где используются только простые конечные поля $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Например, по книжке Рябко Б.Я., Фионов А.Н. Криптографические методы защиты информации. М.: Горячая линия-Телеком, 2005. (мне показалось, что здесь математические детали довольно доходчиво написаны). Вообще, литературы здесь море.

В целом, у Вас непростая методическая задача --- отобрать те примеры, которые были бы интересны и доступны всем (и Вам, и студентам).

P.S. Забыл сказать: для примеров выше нужны (во всяком случае, не помешают) знания из элементарной теории чисел. Это тоже может быть методической проблемой. Не говоря уж об элементах абстрактной алгебры (группы, кольца, поля на уровне определений и примеров хотя бы). Для конечных полей общего вида нужна еще теория многочленов (неприводимые многочлены, факторизация многочленов). Увы, пререквизитов тут хватает.

[Dedekind]

nnosipov
Спасибо! Да, пожалуй, что с криптографией слишком много пререквизитов нужно. Придется выкидывать другие темы, не знаю, стоит ли оно того. Как вариант, возможно, это можно будет реализовать в рамках вот этого подхода

Mikhail_K в сообщении #1645489 писал(а):

Особенно круто было бы добавить в курс интерактивности. Например: Вы предлагаете несколько практических задач, но говорите, что изучить их все вы не успеете, нужно выбрать; и студенты сообща выбирают, какими из них вы будете заниматься в течение курса.

Я пока к нему не готов, но, надеюсь, со временем прийти.
Кроме того, я никак не могу добиться от препода, который читает дискретку, внятного списка его тем. Возможно, в его курсе как раз будут элементы абстрактной алгебры, тогда мне не имеет смысла этого касаться.

[nnosipov]

(Это так, добавление в тему разговора.) Пару лет назад у нас в гостях был А. Райгородский, который в своей лекции рассказал один весьма интересный пример того, как конечномерные векторные пространства над полем из двух элементов работают в комбинаторике. На самом деле, об этом он подробно пишет в своей книжке "Линейно-алгебраический метод в комбинаторике", но я тогда о таких вещах не знал. С моей точки зрения, очень красивый сюжет. И еще один повод рассказывать студентам про векторные пространства именно в абстрактом виде (над произвольными полями, в том числе конечными).

[пианист]

Dedekind
Честно говоря, другого такого же я, пожалуй, и не знаю ;(
В других, чтобы разобраться в вопросе, требуются какие-то вещи, не сводящиеся к понятию ЛВП, и их усвоение может оказаться более трудной задачей. Каковая (трудность) по итогу только и осядет в голове студента.
В случае формулы Бине (или, как правильно указал уважаемый nnosipov, вообще теории линейных рекурренций с постоянными коэффициентами) ничего не нужно, никаких пререквизитов.
Если что, очень хорошее изложение в статье Реньи "Вариации на тему Фибоначчи" (была опубликована в книжечке "Трилогия о математике", есть в сети).

(Оффтоп)

Вообще, вот есть курс Артина по теории Галуа, емнис (почти) полностью построен на линейной алгебре. Но я не уверен, что это будет самый лучший способ введения в линейные пространства ;)

[F111mon]

Книги, в которых затрагиваются практические применения линейной алгебры:
1. Стренг. Линейная алгебра и ее приложения.
2. Коэн. Прикладная линейная алгебра для исследователей данных.
3. Матоушек. Тридцать три миниатюры. Применения линейной алгебры в математике и информатике

[Mental]

Geen в сообщении #1598566 писал(а):

И где-то в 4-ый-5-ый пункт я бы добавил комплексные числа и кватернионы...

Кватернионы обязательно нужны, на них очень многое в компьютерной графике построено. Примеры использования легко найти: https://github.com/akhramovichsa/dual_q ... javascript, также самих студентов можно попросить реализовать.

[Dedekind]

nnosipov, пианист, F111mon, Mental Спасибо!

[gevaraweb]

Dedekind в сообщении #1671607 писал(а):

Да, пожалуй, что с криптографией.

Точно, как я мог забыть, там же есть шифр Хилла. Неплохой пример применения умножения матриц.
Чтобы не было больших проблем с модульной арифметикой, можно ограничиться матрицами с определителями равным 1.

Пример. Шифрование слова ДОН.
ДОН = (6, 16, 15) (по номерам букв в алфавите).

$\begin{pmatrix} 6 & -5 & 4 \\ -1 & 0 & -1 \\ -6 & 3 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 16 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \\ -21 \\ -63 \end{pmatrix}$

Приводим к положительному вектору, добавляя/отнимая числа, кратные 33: (16, 12, 3) = ОКВ.
Слово ДОН зашифровано словом ОКВ.
Расшифровка: находим обратную матрицу, умножаем на вектор (16, 12, 3):

$\begin{pmatrix} 3 & -13 & 5 \\ 1 & -6 & 2 \\ -3 & 12 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 16 \\ 12 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -93 \\ -50 \\ 81 \end{pmatrix}$

Приводим к положительному вектору, добавляя/отнимая числа, кратные 33, будет: (6, 16,15) = ДОН.
Слово ОКВ успешно расшифровано как слово ДОН.

Можно рассмотреть матрицы 2 на 2.
Можно рассмотреть и произвольные невырожденные матрицы, у которых определители не кратны 33, но тогда да, придется решать кучу сравнений )

[Sender]

пианист в сообщении #1645475 писал(а):

Не могу объяснить, почему, но мне идея кажется плохой. Как-то так, чисто интуитивно.

Возможно, дело в том, что никогда не знаешь заранее, какие именно задачи придётся решать, поэтому определённый смысл имеет закладка как можно более широкой базы. К тому же задачи, для которых требуется серьёзная математика, встречаются не так часто, и каждая из них, скорее всего, интересна узкому кругу людей, заинтересовать всех вряд ли получится.

[Mikhail_K]

Sender в сообщении #1723739 писал(а):

Возможно, дело в том, что никогда не знаешь заранее, какие именно задачи придётся решать, поэтому определённый смысл имеет закладка как можно более широкой базы. К тому же задачи, для которых требуется серьёзная математика, встречаются не так часто, и каждая из них, скорее всего, интересна узкому кругу людей, заинтересовать всех вряд ли получится.

Это правда, что никогда не знаешь заранее, какие именно задачи придётся решать. Но "закладка базы", которая не идёт через интересные для обучающихся задачи, неэффективна: как база заложится, так и забудется, и что важнее, не будет увидена связь между этой базой и её возможными применениями. С другой стороны, "закладка базы" лучше бы включала в себя не больше знаний, а больше навыков, как эти знания получать. Любой объём знаний, даже широкий, на практике окажется недостаточным, придётся изучать что-то ещё, и это надо уметь делать. Конечно, без базовых знаний тоже никак не обойтись - но те из них, которые действительно базовые, нужны везде, а значит, мимо них никак не удастся пройти при всём желании.

[Dedekind]

gevaraweb
Да, Хилл - хороший пример, я его запланировал.

Mikhail_K in post #1723748 писал(а):

как эти знания получать

Известно как: "Окей, гугл ChatGPT ...":)

[Mikhail_K]

Dedekind в сообщении #1723753 писал(а):

Известно как: "Окей, гугл ChatGPT ...":)

Как ни странно, этому тоже надо учить. Не ограничиваться одним вопросом или заданием к ИИ, а допытываться до полного понимания. Отличать "воду" от того, что важно. Сравнивать с тем, что написано в книгах. У меня пока ощущение, что проблемой в эпоху ИИ вполне может стать дефицит любознательности, когда ИИ и мог бы ответить на какие-нибудь сложные, важные и интересные вопросы, да только их ему не задают.