Интеграл с полюсами на контуре

[amon]

Geen в сообщении #1721482 писал(а):

И вот тут возникает вопрос почему необходимая связь коэффициентов выражается через вычеты в полюсах обсуждаемой подынтегральной функции (и в каких условиях это будет так)?

За недостатком времени отвечу наводящим правдоподобным рассуждением. Как заметил Red_Herring, по дороге была проведена не вполне корректная манипуляция - я лихо взял преобразование Фурье и получил некий фурье-образ функции Грина, неизвестно чему соответствующий. Если честно решать ОДУ для $G,$ то ответ для $G$, равной нулю при $t>0$ будет иметь вид $G(t)=\theta(-t)f(t),$ где $f$ - некое решение свободного уравнения. Возьмем от этой гадости преобразование Фурье. Получим

$$G=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\omega-\omega'-i0}f(\omega')d\omega'=G(\omega-i0).$$

Т.е. в фурье-образе надо чуть сдвинуть омегу в комплексной плоскости. (Первый член под интегралом - фурье-образ $\theta$-функции.)

[Red_Herring]

Geen в сообщении #1721482 писал(а):

Вот реально выглядит как трюк, где получение правильного результата лишь случайность.

Нет. Если хочется найти решение линейного уравнения (ОДУ или ПДУ с выделенным временем) коэффициенты которого не зависят от времени, и которое 0 при $\mp t >0$, то мы делаем преобразование Фурье $t \to \tau$ , $\mp \operatorname{Im} \tau >0$. Пэли-Винер вам в помощь.

[Geen]

amon в сообщении #1721486 писал(а):

Т.е. в фурье-образе надо чуть сдвинуть омегу в комплексной плоскости.

Звучит знакомо. Попытаюсь вспомнить, спасибо.

Red_Herring в сообщении #1721487 писал(а):

Пэли-Винер вам в помощь.

А вот это не узнаю. Но я поищу, спасибо.

[Red_Herring]

Пэли-Винер это теорема о преобразовании Фурье функций которые равны 0 на полупрямой (или в полупространстве). Если Вы ищете решение пропагатора через преобразование Фурье, то оно приходит к Вам сразу в виде функции аналитической в верхней или нижней полуплоскости, поэтому автоматически с направлением полуобхода полюсов на вещественной оси и никакого главного значения.

[Geen]

Red_Herring в сообщении #1721491 писал(а):

полуобхода полюсов на вещественной оси

Вот опять не понял - полуобход полюса как-раз и даст половину вычета после чего оба контура (замыкание сверху или снизу) дадут ненулевое значение (и кажется одинаковое, если я знаки не путаю).

[amon]

Geen в сообщении #1721494 писал(а):

Вот опять не понял - полуобход полюса

Имелось ввиду, что все полюса должны лежать по одну сторону от контура интегрирования (те самые полукружочки, которые все, включая меня, любят рисовать на контурах).

[Red_Herring]

Geen в сообщении #1721494 писал(а):

полуобход полюса как-раз и даст половину вычета

Контур лежит вовне этих полюсов. Не надо думать что контур изначала он по вещественной оси -- он в верхней (или нижней -- в зависимости от пропагатара) комплексной полуплоскости. Причем полюс необязательно простой, в принципе это может быть даже существенно особая точка.

[Geen]

Red_Herring в сообщении #1721497 писал(а):

Не надо думать что контур изначала он по вещественной оси

Тогда я правильно понимаю, что интеграл "вдоль" вещественной оси отличается от интеграла "по" вещественной оси как-раз на эти полувычеты?

[amon]

Geen в сообщении #1721500 писал(а):

я правильно понимаю, что интеграл "вдоль" вещественной оси отличается от интеграла "по" вещественной оси как-раз на эти полувычеты?

В целом - правильно. Надо понимать, что написанное мной
$G(\omega)=\frac{1}{k^2-\omega^2}.$
не определено, пока к нему не пришпилено "правило обхода полюсов". В зависимости от этого правила получаются разные ответы. Символически это правило изображается приписыванием $i0$-лей к соответствующим полюсам, что показывает что "на самом деле" следует считать, что полюс лежит в верхней или нижней полуплоскости.

[Geen]

amon в сообщении #1721511 писал(а):

не определено, пока к нему не пришпилено "правило обхода полюсов".

Мне кажется, это не совсем удачная формулировка. Сбивает с толку (меня, по крайней мере). Самое главное - она не объясняет что надо делать со значением интеграла на дуге обхода. Первый порыв - это вычесть это значение из результата. А на самом деле мы ищем интеграл вместе с этим значением. То есть запись

$$\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{e^{-ikx}}{x^2-k^2}dx$$

обозначает 9 разных интегралов: один даёт решение однородного уравнения, 4 дают функции Грина (4 разные из которых "линейно независимы" две) и 4 дают ещё что-то.

[Red_Herring]

Geen
Вы исходите из задачи "определить, что такое интеграл по контуру, содержащим полюса", а надо из первоначальной задачи. И тогда у Вас для двух разных пропагаторов будут два разных выражения но вполне однозначных выражения

$$\int_{-\infty \pm 0i}^{\infty \pm 0i} \ldots$$

а интеграл в смысле главного значения вообще непричем

[Geen]

Red_Herring в сообщении #1721544 писал(а):

И тогда у Вас для двух разных пропагаторов будут два разных выражения

Это вопрос - это два (четыре) разных решения одной задачи или две (четыре) разных задачи. Я полагаю, что Вы скажите, что это две разных задачи (необходимо добавить "граничные условия"). Но формулировка этих задач выглядит как подгонка под ответ. Что захотели, то и получили. А тогда, например, возникает вопрос а почему мы не захотели "анти-Фейнмановский" пропагатор? а чего ещё мы не захотели?

Впрочем, мне кажется я понял, что Вы и amon пытаетесь до меня донести. Большое вам спасибо.
А мои последние посты исключительно про словесные формулировки (которые лично мне не совсем нравятся, но это мои личные проблемы).

[Red_Herring]

Пропагатор это решение задачи Коши в одном направлении. В данном случае их два: два направления, соответственно две задачи и по одному решению на каждое. Аналогично было бы и для Шредингера. А для теплопроводности одна задача плохо поставлена и решение одно.

Эти решения можно сшить.
Эти решения можно для многих задач получить другими методами без всякого преобразования Фурье.

Вы взяли какую-то книжку в которой аффтор написал нечто одному ему понятное. Можете игнорировать это место. Можете книжку сдать в макулатуру. Можете порвать на листки и повесить в туалете. Можете поймать автора и вдарить книжкой по голове. Я бы выбрал первый вариант. ТЕм более, что 4ый, 5ый и все последующие варианты противоречат УК.

[Geen]

Red_Herring в сообщении #1721553 писал(а):

Вы взяли какую-то книжку в которой аффтор написал нечто одному ему понятное.

Не-не, не надо мою вину перекладывать на автора

-- 04.04.2026, 16:05 --

Red_Herring в сообщении #1721553 писал(а):

Можете игнорировать это место.

Вот с этим у меня плохо - я не могу идти дальше - мысли сами собой возвращаются к таким местам.

[amon]

Вы, на самом деле, хорошие вопросы задаете, мимо которых обычно пролетают в стандартных курсах КТП.

Geen в сообщении #1721540 писал(а):

То есть запись

$$\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{e^{-ikx}}{x^2-k^2}dx$$

обозначает 9 разных интегралов

На самом деле гораздо больше. Исходная игрушечная задачка: найти решение уравнения
$\frac{d^2G}{dt^2}+k^2G=\delta(t)\,(*)$
имеет бесконечное количество решений. Решением этого уравнения без правой части будет
$f(t)=C\sin(kt+\varphi).$
Взяв разные решения справа и слева от нуля и сшив их в нуле так, чтобы получившаяся функция была непрерывна в нуле и имела единичный разрыв производной, мы получим решение (*). Взяв формально преобразование Фурье от (*) я это многообразие решений вроде как потерял. Причина в том, что преобразование Фурье в смысле обычных интегралов - некорректная операция. Пусть мы выбрали такое решение (*):

$$\begin{cases} G=0 ,&\text{если $t<0$;}\\ G=\frac{1}{k}\sin(kt) ,&\text{если $t>0$;} \end{cases}$$

ясно, что обычное преобразование Фурье от такого зверя -- бессмысленная операция. Его надо понимать как преобразование в смысле обобщенных функций, откуда и появляются всякие $i0$-ли, которые являются стандартной нотацией в теории обобщенных функций.

Geen в сообщении #1721550 писал(а):

А тогда, например, возникает вопрос а почему мы не захотели "анти-Фейнмановский" пропагатор? а чего ещё мы не захотели?

А это уже вопрос из КТП. Там пропагатор это вакуумное среднее Дайсоновского Т-произведения операторов поля. Доказано, что такое среднее равно Фейнмановской функции Грина классического уравнения движения, которое мы квантуем. Значит ее мы и ищем, и $i0$-ли надо расставлять соответствующим образом.