Интеграл с полюсами на контуре

[Geen]

amon в сообщении #1721559 писал(а):

имеет бесконечное количество решений

Да, конечно. Но нас вряд ли интересуют (с принципиальной точки зрения) решения, отличающиеся на что-то из ядра оператора (хотя запаздывающий и опережающий пропагаторы отличаются именно так).

(Оффтоп)

amon в сообщении #1721559 писал(а):

операторов поля

Ой, про это я ещё задам вопрос попозже (и в отдельной теме)

[Geen]

amon в сообщении #1721559 писал(а):

мимо которых обычно пролетают в стандартных курсах КТП.

На самом деле, насколько мне вспоминается, нам всё это давали на математике, но часто это было на последних лекциях семестра или курса, воспринималось просто как некая фигня с бантиком, а нужно это всё оказывалось сильно позже, когда уже все бантики выветрились.
Это сейчас, когда я никуда не спешу, можно несколько дней понапрягать извилины и с вашей помощью "вспомнить", а в условиях цейтнота и чемпионы мира, бывает, мат в два хода зевают.
Но с другой стороны, фразы типа "неопределён пока не заданы правила" не помогают вспомнить, мне по крайней мере. (Это вовсе не упрёк в Вашу сторону).

[Red_Herring]

amon в сообщении #1721559 писал(а):

ясно, что обычное преобразование Фурье от такого зверя -- бессмысленная операция

На вещественной прямой; но вполне осмысленная в нижней комплексной полуплоскости. А если взять наоборот -- то в верхней. И в обоих случаях в смысле обобщенных функций. Но если взять $G(t)=\frac{1}{k}\sin(kt)$ то только в смысле обобщенных функций, но ответ будет представляться в виде разности двух обобщенных функций, одна из которых будет пределом функции из нижней, а другой той же самой функции из верхней полуплоскостей.

Ну вот: возьмем $f(z)=1/z$, тогда $(x-i0)^{-1}-(x+i)^{-1} =2\pi \delta(x)$, $(x-i0)^{-1}+(x+i)^{-1}=2x^{-1}$ с тем, что интеграл понимается в смысле главного значения.

[Cos(x-pi/2)]

(Оффтоп)

Рискну мявкнуть как "физик-слесарь" (т.е. с извинениями и оговоркой: я не математик и не физик-теоретик, поэтому строгих ответов сформулировать не сумею. Обычно удовлетворяюсь "физическими соображениями", и $i\epsilon$ c $\epsilon\to +0$ добавляю просто для того, чтобы обратились в ноль плохо определённые вклады на бесконечных пределах интегрирования).

Geen, если правильно понимаю тему и слова о "бантиках", здесь обсуждаются два разных вопроса, уважаемые участники выше это уже сказали: a) как вычисляются интегралы по контурам в комплексной плоскости; б) как они возникают в физических сюжетах.

а) ТФКП учит: если внутри контура особенностей нет, то интеграл равен нулю. А если есть, например, простой полюс, то интеграл равен $2\pi i\cdot \operatorname{res},$ где $\operatorname{res}$ - вычет в этом полюсе; это так при интегрировании по контуру "против часовой стрелки", а если "по", то надо ещё умножить на $(-1).$ Вклады от нескольких полюсов суммируются. Этого достаточно для всех начальных примеров (а про "полувычеты" не знаю, наверное в простых сюжетах они мне не встречались).

б) На мой взгляд, очень полезны самые простые примеры из физики - классическая и квантовая задачи о гармоническом осцилляторе.

Физика осциллятора - это как бы "теория поля в нульмерном $\mathbf{x}-$пространстве", интегралы по времени $t$ и частоте $\omega$ получаются такие же, как в теории поля. Например, уравнение Клейна-Гордона для скалярного поля $q(\mathbf{x},t),$ умноженное на $c^2,$ есть $(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2\Delta +(mc^2/\hbar)^2)q=0.$ Оно, если интересоваться только решениями $q(t),$ не зависящими от координат, и обозначить $mc^2=\hbar\omega_0,$ сводится к

$$\hat{K}q=0,\quad \text{где} \quad \hat{K}=\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\omega_0^2$$

Это классическое уравнение осциллятора с заданной собственной частотой $\omega_0>0;$ оно применимо, например, к току и или к напряжению в колебательном LC-контуре. Для определённости (и удобства при проверке размерностей) далее считаю, что вещественная переменная $q(t)$ имеет размерность длины и описывает отклонение механического осциллятора с массой $M$ от положения равновесия.

Вот задача из классической механики:

Пусть задана внешняя сила $F(t),$ её значения - вещественные. Важно: далее везде подразумеваем, что любая внешняя сила действует (т.е. может быть не равной нулю) только на конечном промежутке времени $t$ - от какого-то начального момента до конечного: $-\infty<t_{\text{нач}}<t<t_{\text{кон}}<\infty.$

Тогда бывшее однородным уравнение для $q$ становится неоднородным, в его правой части теперь присутствует сила, делённая на массу (все константы я пишу явно, чтобы было легче следить за размерностями величин):

$$\hat{K}q=F/M \qquad (1)$$

Решение можно искать в виде

$$q(t)=C _1e^{-i\omega_0t}+C_2e^{i\omega_0t}+\int_{-\infty}^{\infty}dt'\,G_0(t,t')F(t')/M$$

Действуя оператором $\hat{K},$ видим, что (1) выполняется, если функция $G_0$ любая такая, что

$$\hat{K}G_0(t,t')=\delta(t-t')\qquad (2)$$

Из (2) видно, что без дополнительных условий функция $G_0$ не единственная: к ней можно добавлять произвольное решение однородного уравнения. Вместе с произвольностью постоянных $C_1,C_2$ это означает, что необходимо задавать некие "начальные" (или "граничные" во времени) условия для отбора решений $q(t)$ с заранее желаемыми свойствами. Т.е. вышло, что возможны разные картины движения осциллятора, и без "начальных условий" математика не знает, какая конкретно из множества физических ситуаций нас интересует.


Далее полагаем $C_1=C_2=0,$ т.е. интересуемся только, условно говоря, "вынужденным" движением $q(t),$ - таким, которое обращается в нуль, если устремить к нулю $F(t)$ при всех $t:$

$$q(t)=\int_{-\infty}^{\infty}dt'\,G_0(t,t')F(t')/M\qquad(3)$$

1. Вот одна из возможных физических задачек этого типа. Пусть до начала действия внешней силы осциллятор покоился. Тогда после её окончания он, может быть, совершает собственное колебание; и, значит, надо найти его амплитуду и фазу.

Поскольку функция Грина $G_0,$ как видно из (2), это "вынужденное движение", обусловленное дельта-образной внешней силой (результат как бы мгновенного щелбана осциллятору), то и для этой функции принимаем такое же начальное условие. В этом случае называем эту функцию запаздывающей и обозначаем её как $G_R$ (вместо неопределённой функции $G_0).$ Её явный вид легко угадывается. Ведь чтобы в (2) получалась дельта-функция, решение уравнения (2) должно быть непрерывным, а его скорость (производная) должна иметь скачок единичной величины; так что:

$$G_R(t,t')=G_R(t-t')=\frac{1}{\omega_0}\sin(\omega_0(t-t'))\,\, \text{при}\,\, t>t'; \quad G_R(t-t')=0 \,\, \text{при}\,\, t<t'.$$

Тогда при $t>t_{\text{кон}}$ в (3) будет $t>t',$ синус мы разложим по формуле Эйлера на экспоненты, и интегрирование даст фурье-образы силы $F(\omega_0)$ и $F(-\omega_0)= F(\omega_0)^*.$ Задача решена:

$$q_R(t)|_{t>t_{\text{кон}}}=\frac{iF(\omega_0)}{2\omega_0 M}\,e^{-i\omega_0t}+\text{к.с.}\,;\quad q_R(t)|_{t<t_{\text{нач}}}=0.$$

Фурье-образы я для экономии значков обозначаю теми же буквами, что и сами функции времени. Коэффициенты и знаки в экспонентах выбираю так:

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}dt\,F(t)\,e^{i\omega t}, \qquad F(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{2\pi}\,F(\omega)\,e^{-i\omega t}\,.$$

2. Вот другая физическая задачка: пусть до начала действия внешней силы осциллятор совершал собственное колебание (его амплитуду и фазу надо найти), а после окончания силы он оказался покоящимся. Т.е. в этом случае источник внешней силы работает не как источник энергии возбуждения осциллятора, а наоборот - как приёмник энергии от осциллятора.

Функцию Грина для этого случая называем опережающей и обозначаем как $G_A.$ Вот, какую физику она описывает: дельта-образный щелчок по осциллятору ловко попадает "в противофазу" с колебанием, которое имеет как раз такую амплитуду, что оно этим щелчком останавливается. Такую ф. Г. тоже легко угадать; а можно и проще поступить - вычесть из $G_R$ синусоиду такую, чтобы при $t>t'$ получился ноль:

$$G_A(t-t')=G_R(t-t')-\frac{1}{\omega_0}\sin(\omega_0(t-t'))$$

Решение (3) в этой задачке:

$$q_A(t)|_{t>t_{\text{кон}}}=0\,;\quad q_A(t)|_{t<t_{\text{нач}}}=\frac{-iF(\omega_0)}{2\omega_0 M}\,e^{-i\omega_0t}+\text{к.с.}\,.$$

3. Для квантовых задач об осцилляторе оказывается важным другое решение уравнения (2), функция Грина такая (назовём её фейнмановской и обозначим просто как $G),$ которая в (3) даёт комплексное решение, не нужное в классической механике. А именно: $q(t)$ равно $\frac{iF(\omega_0)}{2\omega_0 M}\,e^{-i\omega_0t}$ при $t>t_{\text{кон}}$ и равно $\frac{iF(-\omega_0)}{2\omega_0 M}\,e^{i\omega_0t}$ при $t<t_{\text{нач}}.$ Вот эта ф.Г.:

$$G(t-t')=\frac{i}{2\omega_0}\,e^{i\omega_0(t-t')}+G_R(t-t')=\frac{i}{2\omega_0}\,e^{-i\omega_0|t-t'|}\qquad (4)$$

При вычислении фурье-образа для этой $G(t)$ интеграл по $t$ разбиваю на два: от $-\infty$ до $0$ и от $0$ до $\infty.$ Чтобы доопределить их на бесконечных пределах, заменяю $\omega_0$ на $\omega_0-i\epsilon$ с $\epsilon>0.$ В конце вычисления везде, где эта $\epsilon$ суммируется с конечными величинами, полагаю её равной нулю; но в знаменателях, которые могут обращаться в ноль, оставляю "воспоминание" о ней в виде $\epsilon\to 0^+$ (не знаю, как (и можно ли) это строго сформулировать). Итог:

$$G(\omega)=\frac{1}{2\omega_0}\,\left( \frac{1}{\omega+\omega_0-i0^+}\,-\,\frac{1}{\omega-\omega_0+i0^+}\right)=\frac{-1}{\omega^2-\omega_0^2+i0^+}\quad (5)$$

Теперь для проверки у Вас есть два способа вычислить комплексное решение (3) во временных областях "до начала действия силы" и "после". Первый способ - прямо подставить в (3) выражение из правой стороны (4), которое служит определением для $G(t-t').$

Второй способ - подставить в (3)

$$G(t-t')=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{2\pi}\,G(\omega)\,e^{-i\omega(t-t')}$$

с $G(\omega)$ из (5), и сначала интегрировать по частоте контурным методом. Для этого вещественную ось $\omega$ считаем частью контура, которая замыкается дугой радиуса $R\to\infty$ в одной или в другой полуплоскости комплексной частоты.

Замыкать так можно потому, что интеграл по такой дуге не даёт вклада (он экспоненциально стремится к нулю), если при $t>t_{\text{кон}}$ замыкаем в нижней полуплоскости. При этом результат определяется единственным вычетом в простом полюсе, оказавшемся внутри контура в комплексной точке $\omega = \omega_0 -i0^+.$ И, аналогично, при $t<t_{\text{нач}}$ замыкаем в верхней полуплоскости; тогда внутри контура оказывается один простой полюс функции (5) в точке $\omega = -\omega_0 +i0^+.$

Т.е., в какой полуплоскости замыкать контур - выбираем из соображений убывания экспоненты, содержащей частоту с (бесконечно) большой мнимой частью, при заданном знаке времени. А где окажутся полюса - заранее ясно из явного вида $G(\omega),$ который определяется фурье-преобразованием уже известной функции $G(t),$ которая в свою очередь естественным образом определяется из постановки физической задачи. Тут руками сдвигать полюса с вещественной оси в какую-либо полуплоскость не приходится, они уже там, где надо.

Конечно, возможны и такие задачи, в которых ф. Г ещё не найдена, но из физических соображений заранее как-то удалось выяснить, какого типа ф. Г. ($G_R, G_A, G)$ нужна для дальнейших вычислений. Тогда изначально не определённую полностью $G_0(\omega)$ можно доопределить, сдвинув её полюса с вещественной оси частоты в подходящую полуплоскость.


Квантовый аналог задачи об осцилляторе, возбуждаемом внешней силой из состояния покоя выглядит так:

В гамильтониан осциллятора $\hat{H}_0=\hbar\omega_0(\hat{c}^+\hat{c}+1/2)$ добавляем оператор возмущения - оператор энергии вида $(-\hat{q}F(t)).$ Пусть начальное состояние осциллятра, при $t<t_{\text{нач}},$ - "вакуумное", это основное состояние $|0\rangle,$ с нулём квантов энергии. Задача - найти состояние осциллятора $|\Psi(t)\rangle$ при $t>t_{\text{кон}},$ т.е. после окончания действия внешней силы.

Есть разные способы решить эту задачу. Ответ в ней: т.н. когерентное состояние, зависящее от комплексной величины $F(\omega_0).$ В плане будущего знакомства с КТП полезно повозиться, в частности, с решением по теории возмущений (ТВ). Оказывается, в итоге $|\Psi(t)\rangle$ удаётся найти из менее громоздких вычислений по ТВ так называемой амплитуды перехода "вакуум --> вакуум": это зависящий от $F(t)$ функционал типа $\langle 0|\Psi\rangle.$ При этом фейнмановская ф.Г. $G$ сама собой появляется уже во 2-ом порядке ТВ. (Однако, если разбирать подробно, то этот сюжет в одну страничку не уложится.)