Интеграл с полюсами на контуре

[Geen]

Добрый день!

Имеется интеграл ($k\in\mathbb{R}$)

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ikx}}{x^2-1}dx$$

Кажется, что его можно было бы вычислить методами ТФКП, но проблема в том, что полюса находятся "на контуре".
Подскажите, пожалуйста, как вычисляются подобные интегралы (если эти вычисления вообще имеют смысл).

[amon]

Geen в сообщении #1721439 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как вычисляются подобные интегралы

Пока математики собираются с мыслями, отвечу с моей рабоче-крестьянской точки зрения. Однозначно сосчитать его нельзя. Ответ будет зависеть от того, что Вы решаете. Можно сосчитать его в смысле главного значения ("интегрируем сквозь полюса"), можно сдвинуть (по-разному) полюса в комплексную область. Ответы получатся (если получатся) разные. То есть, надо вводить какую-то регуляризацию, зависящую от физической задачи, которую Вы решаете.

[nnosipov]

Можно вычислить в смысле главного значения (Cauchy principal value). Если правильно помню, вместо вычетов в полюсах $\pm 1$ нужно брать "полувычеты". Правильная формула должна сама получиться, если написать интеграл по соответствующему контуру в верхней полуплоскости, обтекающему точки $\pm 1$.

-- Чт апр 02, 2026 22:59:40 --

amon в сообщении #1721441 писал(а):

Пока математики собираются с мыслями

Да, похоже, это физическая задача :)

[Geen]

nnosipov в сообщении #1721442 писал(а):

Да, похоже, это физическая задача

Но меня тут именно математический аспект волнует

amon в сообщении #1721441 писал(а):

Однозначно сосчитать его нельзя. Ответ будет зависеть от того, что Вы решаете.

Тут возникает вопрос а насколько можно доверять такому ответу.

nnosipov в сообщении #1721442 писал(а):

интеграл по соответствующему контуру в верхней полуплоскости, обтекающему точки $\pm 1$.

Да, но тут вопрос же в том, что на "дугах обтекания" интерал не равен нулю и его надо суметь подсчитать?

[nnosipov]

Geen в сообщении #1721444 писал(а):

Да, но тут вопрос же в том, что на "дугах обтекания" интерал не равен нулю и его надо суметь подсчитать?

Ну да, вот и получится некий "полувычет". Пишем разложение подынтегральной функции в ряд Лорана в окрестности полюса и интегрируем по полуокружности. Потом радиус этой полуокружности устремляем к нулю. Должно получиться. Во всяком случае, Maple этот интеграл считает (для целых $k$ уж точно, ответ $-\pi\sin{k}$).

Для верности можно заглянуть в учебник Е.С. Половинкин, Теория функций комплексного переменного, М.: ИНФРА-М, 2024. Это физтеховская продукция, там наверняка знают, как такие штуки вычислять. Сам я, пардон, в глубоком детстве такие интегралы вычислял, поэтому могу что-то не так помнить.

-- Пт апр 03, 2026 00:16:29 --

Geen
Нашел Вам готовую формулу для вычисления подобных интегралов: см. задачу 28.08 в задачнике под ред. Евграфова "Сборник задач по теории аналитических функций" (М., Наука, 1972).

Интересно, что на мехмате МГУ и физтехе студентов обучают этой науке по совершенно разным учебникам и задачникам. Евграфов --- это для мехмата стандартный задачник по ТФКП.

[amon]

Geen в сообщении #1721444 писал(а):

Тут возникает вопрос а насколько можно доверять такому ответу.

Это зависит от того, из какой задачи возник данный интеграл. Если из какой-нибудь электростатики, то адекватным может быть интеграл в смысле главного значения - он убирает самодействие заряда. Если Вы считаете функцию Грина, то в зависимости от сдвига полюсов Вы получите запаздывающую, опережающую или какую еще. Математически задача не очень корректна, и способ счета, увы, зависит от исходной физической задачи.

[Geen]

nnosipov в сообщении #1721446 писал(а):

Нашел Вам готовую формулу для вычисления подобных интегралов

Спасибо! Получается надо брать ровно половину вычета (про вычеты я ещё что-то помню, а вот про половины совсем забыл (хотя и выглядит логично, если подумать))

amon в сообщении #1721441 писал(а):

зависящую от физической задачи, которую Вы решаете

Тут я произнесу страшное (для меня) слово пропагатор

-- 02.04.2026, 20:59 --

amon в сообщении #1721447 писал(а):

адекватным может быть интеграл в смысле главного значения - он убирает самодействие заряда

Если у нас задача подсчитать хоть как-то, то это может быть адекватно. Но хотелось бы видеть все альтернатвы и понимать где мы получаем однозначные следствия, а где просто постулируем результат.

[amon]

Geen в сообщении #1721448 писал(а):

Тут я произнесу страшное (для меня) слово пропагатор

Пропагатор, обычно, это Фейнмановская функция Грина, равная запаздывающей при $t>0$ и опережающей при $t<0.$ В этом случае надо один полюс сдвинуть вверх в комплексной плоскости (например, $1\to 1+i\varepsilon,$), а другой - вниз ($-1\to -1-i\varepsilon,$) и считать интеграл по вычетам, устремив в ответе $\varepsilon\to 0.$

[Geen]

amon в сообщении #1721447 писал(а):

Если Вы считаете функцию Грина

Не считаю, но смотрю лекции (простыл недавно, голова совсем не варила, решил попробовать наверстать упущенное благо ютьюб подсунул свежий курс).
Но про сами эти функции будет отдельный вопрос.

amon в сообщении #1721447 писал(а):

в зависимости от сдвига полюсов Вы получите запаздывающую, опережающую или какую еще.

Так вот я и не понимаю смысла этого действия, которое не сводится к вычислению самого интеграла...

[amon]

Geen в сообщении #1721450 писал(а):

Так вот я и не понимаю смысла этого действия, которое не сводится к вычислению самого интеграла...

Вы ищете функцию Грина уравнения
$\frac{d^2G}{dt^2}+k^2G=\delta(t).$
Таких функций тьма тьмущая, поскольку определены они с точностью до любого решения свободного уравнения
$\frac{d^2f_0}{dt^2}+k^2f_0=0$
(такую $f_0$ можно прибавить к $G$ и эта сумма тоже будет решением уравнения для $G$). Осмысленная (запаздывающая) функция Грина должна знать что-то о прошлом, но не требовать знания будущего, т.е. $G(t<0)$ равна чему-то, а $G(t>0)=0.$ Это - принцип причинности, то есть, не математика а физика. Теперь, как это перегнать в математику. Возьмем преобразование Фурье от уравнения на $G$ и получим
$G(\omega)=\frac{1}{k^2-\omega^2}.$
Для обратного Фурье получился тот самый интеграл, с которого сыр-бор разгорелся. Функция Грина - обобщенная функция, поэтому на этот интеграл бессмысленно смотреть как на обычный Римановский. Итак, пытаемся сосчитать

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-i\omega t}d\omega}{(k+\omega)(k-\omega)}$$

так, чтобы при $t>0$ ответ был тождественным нулем. Для этого заметим, что если я сдвину оба полюса вверх

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-i\omega t}d\omega}{(k-i\varepsilon+\omega)(k+i\varepsilon-\omega)},\,k>0,\varepsilon>0,$$

то при $t>0$ мне надо замыкать контур интегрирования вниз чтобы на контуре подынтегральное выражение убывало на бесконечности, тогда внутри контура полюсов не будет, и ответ будет такой, как мы хотели - ноль при $t>0$ и нечто ненулевое, удовлетворяющее уравнению на $G$ при $t<0$ - запаздывающая функция Грина. Аналогично я могу получить опережающую функцию Грина сдвинув полюса в другую сторону. То есть, подобные интегралы требуют сначала выяснить что мы ищем, а затем соответствующей регуляризацией получить то, что хотим, и вопрос "как его сосчитать математически строго" бессмысленен, поскольку как интеграл Римана он расходится, его надо как-то доопределять, и способов такого доопределения много.

[Red_Herring]

Тут два вопроса:
1) Как определить?
2) Как согласно определению вычислть

Ответ на 1) прост: в смысле главного значения по Коши см nnosipov. Но тут два дисклаймера: a) контур не должен иметь изломов в полюсах. Например, если мы возьмем $\int \frac{dz}{z}$ по контуру с изломом $\alpha$ против часовой стрелки то вклад полюса будет $i\alpha$ b) Полюс д.б. простым (посмотрите, например, на $\int \frac{dz}{z^2}= \frac{1}{z_-}-\frac{1}{z_+}$ контур чуть разомкнутый.

2) Тогда Теорема Коши будет как nnosipov сформулировал.

[Geen]

amon в сообщении #1721458 писал(а):

Для этого заметим, что если я сдвину оба полюса вверх

Этот интеграл как функция от эпсилон разрывен в 0. А как выглядит "исходное" уравнение при ненулевом, я что-то пока не сообразил.

amon в сообщении #1721458 писал(а):

нечто ненулевое, удовлетворяющее уравнению на $G$ при $t>0$

но нам то надо что бы при всех $t$ эта функция удовлетворяла уравнению. Причём при $\varepsilon=0$.

[amon]

Geen в сообщении #1721467 писал(а):

Этот интеграл как функция от эпсилон разрывен в 0. А как выглядит "исходное" уравнение при ненулевом, я что-то пока не сообразил.

На самом деле я сдвинул контур интегрирования $\omega\to\omega-i\varepsilon$ и сказал, что интеграл равен пределу $\varepsilon\to 0$ интеграла по сдвинутому контуру. То, что в ответе получится функция Грина можно проверить прямой подстановкой (интегралы берутся). Аккуратное доказательство того, что такой трюк дает функцию Грина при любом сдвиге полюсов сходу не воспроизведу.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1721447 писал(а):

Это зависит от того, из какой задачи возник данный интеграл.

Ну вот это самое главное. Надо начинать с задачи, в которой возникает этот интеграл, возможно, в результате невполне корректной манипуляции

[Geen]

Red_Herring в сообщении #1721470 писал(а):

Надо начинать с задачи, в которой возникает этот интеграл

Пытаюсь заново разобраться с КТП Попутно выясняю насколько сильно я забыл требуемую математику.
И большое спасибо всем отвечающим - реально каждое сообщение здорово помогло.

amon в сообщении #1721469 писал(а):

такой трюк дает функцию Грина

Вот реально выглядит как трюк, где получение правильного результата лишь случайность. Вот это ощущение, вероятно, и помешало мне в своё время учить КТП.

Попробую сформулировать что я сейчас понимаю/не понимаю на данный момент.
Да, исходно мы ищем функцию Грина. То уранение, которое написал amon, как кажется, самый простой вариант подобных задач. Если на него пристально посмотреть, то "интуитивно понятно" будет, что нам надо взять два разных решения однородного уравнения и "сшить их с разрывом" в нуле. Так же понятно, что нам надо что бы вторая производная разрыва (т.е. производная дельта-функции) "скомпенсировалась", поэтому нам необходимо делать согласованный разрыв по каждой "гармонике" ($e^{\pm ikt}$). И при этом мы можем обеспечить равенство 0 по каждой гармонике независимо справа/слева от $t=0$ (т.е. просто умножить на фнкцию Хэвисайда).
И вот тут возникает вопрос почему необходимая связь коэффициентов выражается через вычеты в полюсах обсуждаемой подинтегральной функции (и в каких условиях это будет так)?
(а вот сдвиг полюсов или обход по маленькой дуге вокруг полюса (как формулируется в лекциях что я смотрю или в википедии) выглядит просто как "мнемоническое правило" пока что).