Когда число делителей равно наибольшему делителю до корня?

[gipokrat]

В каких случаях количество делителей равно наибольшему делителю, не превосходящему корня?
Перед вами первые 10 натуральных чисел, обладающих вышеописанным свойством:

1, 9, 88, 104, 128, 136, 152, 156, 184, 204.
Между прочим, этой последовательности до сих пор нет в OEIS.

Нетрудно проверить, что таких чисел бесконечно много (для получения требуемого числа достаточно умножить на 8 любое простое число, большее 8).
А можно ли найти формулу, описывающую все такие числа?
Пока я вижу в основном два типа:

$$8p$$

и

$$12p$$

. Какие ещё типы возможны?
Вопрос о плотности распределения таких чисел также интересен.
И существуют ли нечётные примеры, помимо 1 и 9?

[Dmitriy40]

gipokrat в сообщении #1721068 писал(а):

Какие ещё типы возможны?

1 и 9 к указанным типам не относятся.
Как и 128, 384, 396, 450, 468, 560, 600, 612, 672, 792, 1200, 1440, 1680.
Что интересно, это все исключения до $10^9$.

-- 27.03.2026, 03:06 --

gipokrat в сообщении #1721068 писал(а):

Вопрос о плотности распределения таких чисел также интересен.

Это совсем просто: с хорошей точностью количество таких чисел до $x$ равно $\pi(\frac{x}{8})+\pi(\frac{x}{12})+6$ (для $x<1700$ прибавлять надо другие числа вместо 6, см. выше про исключения из двух формул).

[Shadow]

gipokrat в сообщении #1721068 писал(а):

И существуют ли нечётные примеры, помимо 1 и 9?

Нет конечно. Чтобы количество делителей было нечетным, необходимо, чтобы число было квадратом. Рассмотрим $p^{2n}$ для нечетного простого $p$. - число делителей $2n+1$, наибольший делитель, не прев. корня - $p^n$.

Но $2n+1<p^n$ за исключением $n=1,p=3$

А для составных чисел достаточна мултипликативность и умножения, и функции делителей, т.е

$(2n_1+1)(2n_2+1)\ldots<p_1^{n_1}p_2^{n_2}\ldots$

[gipokrat]

Dmitriy40
Shadow
Большое спасибо!

[wrest]

gipokrat в сообщении #1721068 писал(а):

А можно ли найти формулу, описывающую все такие числа?

До $10^7$, максимальное количество делителей равно 40 для числа 1680 (и только для него).
После 1680 только 8 или 12 делителей.
Список всех чисел (до 10^7) у которых делителей больше 12.

Число Делителей Факторизация
384 16 [2, 7; 3, 1]
396 18 [2, 2; 3, 2; 11, 1]
450 18 [2, 1; 3, 2; 5, 2]
468 18 [2, 2; 3, 2; 13, 1]
560 20 [2, 4; 5, 1; 7, 1]
600 24 [2, 3; 3, 1; 5, 2]
612 18 [2, 2; 3, 2; 17, 1]
672 24 [2, 5; 3, 1; 7, 1]
792 24 [2, 3; 3, 2; 11, 1]
1200 30 [2, 4; 3, 1; 5, 2]
1440 36 [2, 5; 3, 2; 5, 1]
1680 40 [2, 4; 3, 1; 5, 1; 7, 1]
так что формула наверное такая, что это n=1;9;12 чисел из списка выше;8p;12p

[wrest]

wrest в сообщении #1721075 писал(а):

Список всех чисел (до 10^7) у которых делителей больше 12.

Я сначала пишу, потом читаю
Оказывается Dmitriy40 уже посмотрел до ярда.

[Dmitriy40]

wrest
Вы пропустили число 128, оно хоть и имеет 8 делителей, но не подходит под формулу 8p.

[maxal]

Пусть $d\leq\sqrt{n}$ - максимальный такой делитель числа $n$. Пусть $\tau(n)=d$.

Тогда количество делителей $n$ не превосходящих $d$ равно $(d+1)/2$ или $d/2$ в зависимости от того, выполняется ли равенство $d=\sqrt{n}$. В любом случае их количество $\geq d/2$.
Пусть $L$ - это их LCM и $m=\omega(L)$ - количество различных простых делителей числа $L$.

Без потери общности можно считать, что простые делители $L$ - это в точности первые простые $p_1$, ..., $p_m$, и каждый из $d/2$ делителей $\leq d$ является $p_m$-гладким числом.
Так как количество $\sqrt{d}$-гладких чисел $\leq d$ асимптотически растет как $(1-\log2)d \approx 0.3d$, то считаем, что $p_m > \sqrt{d}$ (для достаточно больших $d$).
Тогда каждое $p_m$-негладкое число имеет уникальный простой делитель $>p_m>\sqrt{d}$. И количество негладких чисел равно сумме по простым $q$:

$$\sum_{p_m < q \leq d} \left\lfloor\frac{d}{q}\right\rfloor \leq d/2.$$

Откуда:

$$\sum_{p_m < q \leq d} \frac{d}{q} \leq d/2 + \pi(d).$$

Оценивая по второй теореме Мертенса и PNT, имеем $\log\log d - \log\log p_m \leq 1/2 + \pi(d)/d$, т.е. $p_m \geq d^{\exp(-\frac12-\frac1{\log{d}})}$ и $m\geq \pi(d^{\exp(-\frac12-\frac1{\log{d}})})$.
Таким образом, $\tau(L)\geq 2^m \geq 2^{\pi(d^{\exp(-\frac12-\frac1{\log{d}})})}$.
С другой стороны, $L$ является делителем $n$ и поэтому $\tau(L)\leq \tau(n)=d$, т.е. $2^{\pi(d^{\exp(-\frac12-\frac1{\log{d}})})} \leq d$, что влечёт $d\leq 650$ или около того.
Таким образом, существует лишь конечное число возможных $d$.

Нестрого, но идея должна быть понятна.

[Dmitriy40]

maxal в сообщении #1721137 писал(а):

т.е. $2^{\pi(d^{1/\sqrt{e}})} \leq d$, что влечёт $d<50000$ или около того.

Вообще-то менее 130.

[maxal]

Dmitriy40 в сообщении #1721140 писал(а):

Вообще-то менее 130.

С такой оценкой можно найти все решения.

[ex-math]

Shadow
Подождите, спрашивается же про нечетность самого числа, а не количества его делителей

[Shadow]

ex-math в сообщении #1721142 писал(а):

Shadow
Подождите, спрашивается же про нечетность самого числа, а не количества его делителей

Но по условию "количесто делителей" является делителем самого числа, а значит тоже нечетное. А значит само число - квадрат.

[ex-math]

Shadow
Да, согласен

[maxal]

Dmitriy40 в сообщении #1721140 писал(а):

Вообще-то менее 130.

Улучшил точность оценки в своих выкладках. Оценка изменилась до $d\leq 650$.

-- Sat Mar 28, 2026 08:15:35 --

Оценивая $m$ как $m\leq \Omega(\tau(n))=\Omega(d)$ и сравнивая количество $p_m$-гладких чисел $\leq d$ с нужным количеством $d/2$, получаем, что возможные значения $d$ должны принадлежать множеству:

[3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 24, 27, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 72, 80, 81, 84, 96, 108, 112, 120, 128, 144, 160, 192, 256]

На всякий случай прогнал через этот фильтр значения $d\leq 10^5$.

А для существования бесконечных серий с простыми делителями $>\sqrt{n}$, $d$ с необходимостью должно быть:

[4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 32, 36, 40, 48, 64, 72, 80, 96, 128, 256]

Это необходимые, но возможно недостаточные условия.

-- Sat Mar 28, 2026 08:52:10 --

Нечетные значения $d$ легко отсеять, так как в этом случае $d=\sqrt{n}$ и $n = d^2$. Из нашего списка $n=3^2=9$ подходит, а вот остальные - нет.

[maxal]

Dmitriy40 в сообщении #1721069 писал(а):

1 и 9 к указанным типам не относятся.
Как и 128, 384, 396, 450, 468, 560, 600, 612, 672, 792, 1200, 1440, 1680.
Что интересно, это все исключения до $10^9$.

Проверил все возможные значения $d$ и соответствующие им решения. Вполне ожидаемо, что ничего нового не нашел. Таким образом, две бесконечные серии и указанные спорадические решения - это полный комплект, других нет.