Среднее значение цифр точной степени

[juna]

Вы имеете ввиду, что если вместо нулей, пробовать подставлять другие цифры, то максимум, который достигается при заданной разрядности, получается на указанных числах?

[Dmitriy40]

juna в сообщении #1721003 писал(а):

Вы имеете ввиду, что если вместо нулей, пробовать подставлять другие цифры, то максимум, который достигается при заданной разрядности, получается на указанных числах?

Да.
И что подстановка вместо нулей других цифр может повысить значение функции - и похоже обязательно найдутся комбинации точно повышающие.

[juna]

Dmitriy40 в сообщении #1721002 писал(а):

Однако:
$f_{10}(9379^4)=91/16=5.6875$
$f_{10}(99233299^4)=190/32=5.9375$
$f_{10}(999716628999^4)=306/48=6.375$
$f_{10}(9999644881029999^4)=405/64=6.328125$

Dmitriy40 в сообщении #1721004 писал(а):

точно повышающие

Повышающие относительно чего, нулей? Просто $f_{10}(9999644881029999^4)<f_{10}(999716628999^4)$ и вроде не так интересно. Или все же $64488102$ не максимум из возможного?

[Dmitriy40]

juna в сообщении #1721005 писал(а):

Повышающие относительно чего, нулей?

Да.

juna в сообщении #1721005 писал(а):

Или все же $64488102$ не максимум из возможного?

Для чисел из 16 знаков с четырьмя девятками слева и справа - максимум.
Больше 4-х девяток не проверял (с 5 девятками где-то на сутки счёта).

-- 25.03.2026, 16:32 --

juna в сообщении #1721005 писал(а):

Или все же $64488102$ не максимум из возможного?

Его привёл специально, показать что рост в зависимости от $k$ оказывается не монотонный.

-- 25.03.2026, 16:40 --

$f_{10}(99999966444103299999^4)=513/80=6.4125$

[juna]

Dmitriy40 в сообщении #1721007 писал(а):

Его привёл специально, показать что рост в зависимости от $k$ оказывается не монотонный.

-- 25.03.2026, 16:40 --

Думаю, четное и нечётное количество девяток нужно рассматривать отдельно. Для четного количества кажется должна быть монотонность.

[juna]

Оказывается, можно брать итерацию от итерации с сохранением все тех же свойств монотонности и фиксированного количества всех цифр, кроме нуля и девятки:

$$n=(9)^k((00)^k(9)^k)^m (00)^k (9)^k,m=0,1,2,\ldots$$

Например,

$$m=2, k=1, f_{10}(9009009009^4)=4.5$$

$$m=2, k=2, f_{10}(99000099000099000099^4)=5.0625$$

$$m=2, k=3, f_{10}(999000000999000000999000000999^4)=5.175$$

Каждое увеличение итерации $m$ сдвигает предел $\lim_{k\rightarrow\infty} f_{10}\left(\left((9)^k((00)^k(9)^k)^m (00)^k (9)^k\right)^4\right)$ в сторону увеличения.

P.S. Все бы хорошо, да только этим способом не получается доползти даже до шестерки:

$$m=200, k=12000: f_{10}\left(\left((9)^k((00)^k(9)^k)^m (00)^k (9)^k\right)^4\right)\approx 5.99307$$

[mihaild]

Подсказка: для $n$ под спойлером, $f_{10}(n^4) = \frac{16057}{2132} \approx 7.5331 > 171/23 \approx 7.4348$.

(Оффтоп)

80999999999999999999999999999999999999999999999999999999999998999999999999999999999999999999999999999999999999999999999989999999999999999999999999999999999999999999999999999999999799999999999999999999999999999999999999999999999999999999998999999999999999999999999999999999999999999999999999999999989999999999999999999999999999999999999999999999999999999998899999999999999999999999999999999999999999999999999999999998999999999999999999999999999999999999999999999999999999999990000000000000000000000000000000000000000000000000000000081

[Dmitriy40]

Чуть более компактная запись: $809\cdot10^{530} -10^{353}-10^{177}+81.2+(10^{59}-2)\sum\limits_{i=0}^8 10^{59i-1}$

[wrest]

mihaild в сообщении #1722574 писал(а):

Подсказка: для $n$ под спойлером,

Число составное, по привычке решил факторизовать. Но pari/gp за 20 минут не справился.

[Dmitriy40]

$7 \times 24304977876955121 \times C516$, последнее похоже можно разлагать до посинения.