Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz

[mathpath]

dmd в сообщении #1655690 писал(а):

$(x,y,z)$=(-707898957401771913757226, 6377985188886147, 8730045949720501300467109875755)

Это сильно меньше уже известных решений

[maxal]

dmd в сообщении #1655690 писал(а):

$(x,y,z)$=(-707898957401771913757226, 6377985188886147, 8730045949720501300467109875755)

Поздравляю! Как именно нашли его?

[dmd]

Нашел таким поиском:

(код pari/gp)

 my(V,P,p1,c,r,m,x,y,z,x0,y0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,z3);
 V= [];
 forprime(p=3,100000,
  P=polrootsmod(1+'x^2+'x^3, p)~;
  for(i=1,#P,
   V= concat(V,P[i]);
   parfor(j=1,#V,
    p1= V[j].mod;
    if(p1<p,
     c= chinese(P[i],V[j]);
     c= chinese(Mod(4,9),c);
     r= lift(c); m= c.mod;
     for(k=0, 16, forstep(ksign=-1,1,2,
      x= r+k*ksign*m;
      y= 9*p1*p;
      z= -(1+x^2+x^3+y^2)/(x*y);
      if(z==floor(z),

       print("("x","y","z")    ",factorint(y),"    ",k"\n");
       x0= x; y0= y;
       x1= (y0^2+1)/x0; y1= y0;
       x2= x1; y2= (x1^3+x1+1)/y1;
       x3= (y2^2+1)/x2; y3= y2;
       z3= -(1+x3^2+x3^3+y3^2)/(x3*y3);
       if(z3==floor(z3), if(z3%9==0,
        print("(*)    ("x3","y3","z3/9")\n");
       ));

       y= (1+x^2+x^3)/y;
       print("("x","y","z")    ",factorint(y),"\n");
       x0= x; y0= y;
       x1= (y0^2+1)/x0; y1= y0;
       x2= x1; y2= (x1^3+x1+1)/y1;
       x3= (y2^2+1)/x2; y3= y2;
       z3= -(1+x3^2+x3^3+y3^2)/(x3*y3);
       if(z3==floor(z3), if(z3%9==0,
        print("(*)    ("x3","y3","z3/9")\n");
       ))

      )
     ))
    )
   )
  )
 )

Было бы здорово, если кто-то сможет объяснить магию этого метода.
Происходит примерно следующее. Начать нужно с более простого уравнения $1 + x^2 + x^3 + y^2 + xyz = 0$, для которого сравнительно легко находить малые целые решения $(x_0,y_0,z_0)$, которые будут стартовыми в итерациях алгоритма. Легко видеть, что в дивизорах $1 + x^2 + x^3$ два целых значения $y$, которые участвуют в решениях. А в дивизорах $1 + y^2$ лишь одно целое значение $x$, два других комплексные/иррациональные сопряженные, т.к. по $x$ уравнение кубическое. Волшебство случается, когда метод прыгает на "соседнюю" поверхность $1 + x + x^3 + y^2 + xyz = 0$, делаются три шага $(x_0,y_0)\to (x_1,y_1)\to (x_2,y_2)\to (x_3,y_3)$. В результате третья целая точка $(x_3,y_3,z_3)$ почему-то оказывается на исходной поверхности. Если при этом $9|z_3$, то решение найдено.

[AlexSam]

Можно записать еще так:
$-9\,x\,y\,z+{y}^{2}+{x}^{3}+{x}^{2}+1=\left( 9\,{y}_{1}\,x\,z-{x}^{3}-{x}^{2}-{y}_{1}^{2}-1\right) \,\left( 9\,{y}_{1}\,{y}_{2}^{2}\,x\,z-9\,{y}_{2}\,x\,z-{y}_{2}^{2}\,{x}^{3}-{y}_{2}^{2}\,{x}^{2}-{y}_{1}^{2}\,{y}_{2}^{2}-{y}_{2}^{2}+2\,{y}_{1}\,{y}_{2}-1\right) $
когда $y={y}_{1}\,\left( 9\,{y}_{2}\,x\,z-{y}_{1}\,{y}_{2}+1\right) -{y}_{2}\,\left( {x}^{3}+{x}^{2}+1\right) $

[Klein]

(x, y, z) = (-3628201152218, 7025360241, 208195628241053)

[Klein]

Это не я. Это OpenClaw с агентурой.

(Оффтоп)

x = 154717470681973018736407930136288902569190515100864756813501035362389994480277890062947687036892333323540914558648894280575716715388057186547310246301998373094488013772713394212332789342768777930219594397302443859830174684110101781148520391148611313229205769696428452122935699688729701354693358322674100854032291354716577894640178060607138
y = 27266538140798204683269823308082958082416915852910629973478750996059871465526755573720021560157919173342313989429668709252152389091388912150017223740869154549347464210227642375214906950219083122352803414321300173699
z = 97545267188422161095972473208878541715121115725641679121819574667323468721924953570501432088482130339354032233739848107817347116261440106515217856790273164206031711689981059492017928978078559473390183319029834748834346882354234615604380169946506240825390658192999443831904777249316803820084493439436947307366819114547259001824794881826568084475322670682172808958368990906459930353912943808505035309402618107815514965146133190325196084399537547183861478565288321

[lel0lel]

Klein
OpenClaw поднимается по уже найденным решениям и проверяет остатки.

Можно показать, что решений бесконечно много. Следуя идее Denis Shatrov (Дениса Шатрова), её можно посмотреть по ссылке в этой теме, определим три преобразования:
$A: (x,y)\to (x,\frac{x^3+x^2+1}{y})$
$B: (x,y)\to (\frac{y^2+1}{x},y)$
$C: (x,y)\to (x,\frac{x^3+x+1}{y})$
Пусть $(x_0,y_0)$ решение уравнения $x^3+x^2+y^2+1=9z x y$. Тогда $y_0\bmod 9 \in\{0,3,6\}$ и $x_0\equiv 4\bmod 9$. Рассмотрим преобразование $(BCBA)^3$. Применив его к $(x_0,y_0)$, получим целые $(\tilde{x}_0,\tilde{y}_0)$, такие что $\tilde{x}_0\tilde{y}_0\mid \tilde{x}_0^3+\tilde{x}_0^2+\tilde{y}_0^2+1$. Проверив остатки, можно убедиться, что $9\tilde{x}_0\tilde{y}_0\mid \tilde{x}_0^3+\tilde{x}_0^2+\tilde{y}_0^2+1$. Подробности напишу вечером.

(Оффтоп)

Вот ещё несколько относительно небольших решений, чтобы не ломать вёрстку:

x=-19578556686240310295378317903565;
y=73824191440004541629580002277896931688661875254219846484796640446223251877;

x=-363265232629031209949570103267434887558857197259102600845809044502614\
4523917952299069197673311981991527870688035468617682928288884586990362\
7279377609749082635230332950425012070482339134774913720204319749568448\
3066571970200818326676074336172469730442818519306769725;
y=1289684119218618557858390797110912015216701488434570595320904708947871\
4926092189616476648276437840904394187825303036134074973821900609551786\
6340223875984144769323749007;

x=15471747068197301873640793013628890256919051510086475681350103536238\
99944802778900629476870368923333235409145586488942805757167153880571865\
473102463019983730944880137727133942123327893427687779302195943973024438\
5983017468411010178114852039114861131322920576969642845212293569968872970\
1354693358322674100854032291354716577894640178060607138;
y=27266538140798204683269823308082958082416915852910629973478750996059871\
465526755573720021560157919173342313989429668709252152389091388912150017223\
740869154549347464210227642375214906950219083122352803414321300173699;

Последнее как раз найдено вами. Кстати, оно получается подъёмом, например, отсюда (положительное значение $x$):

maxal в сообщении #1633562 писал(а):

mathpath в сообщении #1633519 писал(а):

Другие решения известны ?

На всех решений не напасешься Но вот ещё одно завалялось:

x = 134398663297274547209137686278055005569690302475018
y = 99289900600732241944365446997153
z = 20213536978090153723578064261881061403832912545088461051439794069731

[Klein]

lel0lel в сообщении #1720162 писал(а):

Klein
OpenClaw поднимается по уже найденным решениям и проверяет остатки.

Можно показать, что решений бесконечно много. Следуя идее Denis Shatrov (Дениса Шатрова), её можно посмотреть по ссылке в этой теме, определим три преобразования

Обратил внимание на код , который агент OpenClaw написал в Питоне. Повторы по найденым решениям, которые агент 'сосгреб' из сети.