Изоморфность Q(sqrt(2)) и Q(sqrt(3))

[Dedekind]

В задаче просят доказать, что $\mathbb{Q}(1+i)\cong \mathbb{Q}(1+i)$, и $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \ncong \mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Под $\mathbb{Q}(a)$ имеется в виду расширение $\mathbb{Q}$ корнем $a$ некоторого многочлена из $\mathbb{Q}[x]$, который корней в $\mathbb{Q}$ не имеет.

С первым утверждением решение очевидно. Но, как будто, второе утверждение неправильно. Например, можно определить изоморфизм между ними так: $f(a+b\sqrt{2}) = a + b\sqrt{3}$. Я что-то упускаю?

[Geen]

Dedekind в сообщении #1719046 писал(а):

Я что-то упускаю?

$2=\sqrt2\sqrt2$

[Dedekind]

Geen
Ага, и правда. Спасибо!

[artempalkin]

Geen в сообщении #1719049 писал(а):

$2=\sqrt2\sqrt2$

Можно уточнить ход мысли, пожалуйста.

Я так полагаю, что $f(0)=0$ и $f(1)=1$ для любых изоморфизмов, правильно?

Тогда и $f(n\cdot 1)=n\cdot 1$, в частности, $f(2)=2$.

Тогда если $f(\sqrt 2)=a$, то $a^2=2$, что означает, что $\sqrt 2\in \mathbb{Q}(\sqrt3)$, что не так.

Верно?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1719702 писал(а):

Я так полагаю, что $f(0)=0$ и $f(1)=1$ для любых изоморфизмов, правильно?

Да, но это нужно доказать.
Если более формально (без не очень понятно что значащего $\sqrt 2 \in \mathbb Q(\sqrt 3)$): формула $\exists x, y: (\forall z: x\cdot z = z) \wedge y\cdot y = x + x$ выполнена в $\mathbb Q(\sqrt 2)$, но не в $\mathbb Q(\sqrt 3)$.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1719706 писал(а):

Да, но это нужно доказать.

Ага, ну это вроде несложно.

mihaild в сообщении #1719706 писал(а):

Если более формально (без не очень понятно что значащего $\sqrt 2 \in \mathbb Q(\sqrt 3)$): формула $\exists x, y: (\forall z: x\cdot z = z) \wedge y\cdot y = x + x$ выполнена в $\mathbb Q(\sqrt 2)$, но не в $\mathbb Q(\sqrt 3)$.

Понимаю, но что-то очень сложно вы пишете. Разве нельзя написать, что $\exists x: x^2=2$? В $\mathbb{Q}(\sqrt 2)$ он есть по определению. Полагаю, что еще нужно доказать, что его нет в $\mathbb{Q}(\sqrt 3)$.

[dgwuqtj]

artempalkin в сообщении #1719714 писал(а):

Разве нельзя написать, что $\exists x: x^2=2$?

Можно, конечно. Вообще в произвольном кольце с единицей можно обозначать целыми числами соответствующие суммы и разности единиц, просто надо помнить, что это какие-то абстрактные элементы (и какие-то могут совпадать в случае конечной характеристики). А у вас поля конкретные, содержащие $\mathbb Q$, так что всё вообще хорошо.

[Mikhail_K]

artempalkin в сообщении #1719714 писал(а):

Разве нельзя написать, что $\exists x: x^2=2$?

Только если вначале доказать, что при изоморфизме $2$ должно переходить в $2$. Если это предварительно не доказать, то формулу $\exists x: x^2=2$ писать, конечно, можно, но её выполнение в одном поле и невыполнение в другом тогда не будет сразу означать неизоморфность.

[artempalkin]

Mikhail_K в сообщении #1719761 писал(а):

Только если вначале доказать, что при изоморфизме $2$ должно переходить в $2$. Если это предварительно не доказать, то формулу $\exists x: x^2=2$ писать, конечно, можно, но её выполнение в одном поле и невыполнение в другом тогда не будет сразу означать неизоморфность.

Ну это вроде понятно.

$\forall a\in \mathbb{Q}(\sqrt 3):f(1)\cdot a=f(1)\cdot f(f^{-1}(a))=f(1\cdot f^{-1}(a))=f(f^{-1}(a))=a$

Ну и тогда
$2=1+1=f(1)+f(1)=f(1+1)=f(2)$

Получается, изоморфизм сохраняет $\mathbb{Q}$, если можно так выразиться